专题02 垂线-2020-2021学年七年级数学下册常考题专练（人教版）

专题02垂线 ★ 知识归纳 垂线 1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足． 要点梳理： (1)记法：直线a与b垂直，记作：； 直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 要点梳理： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上． (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 要点梳理： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性． （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 要点梳理： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度． ★ 实操夯实 一．选择题（共11小题） 1．如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【解答】解：根据垂线的性质，这样的直线只能作一条， 故选：B． 2．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 3．如图，若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则下列结论必定成立的是（　　） A．CD＞AD B．AC＜BC C．BC＞BD D．CD＜BD 【解答】解：若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，得 BC＞BD，BC＞CD，AC＞AD，AC＞CD，AB＞AC，AB＞BC， 故选：C． 4．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（　　） A．小于2cm B．等于2cm C．不大于2cm D．等于4cm 【解答】解：∵根据点到直线的距离为点到直线的垂线段（垂线段最短）， 2＜4＜5， ∴点P到直线l的距离小于等于2，即不大于2， 故选：C． 5．如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，这次小明的跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点之间的距离是（　　） A．大于4.6米 B．等于4.6米 C．小于4.6米 D．不能确定 【解答】解：∵根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长， 又∵垂线段最短， ∴小明从起跳点到落脚点之间的距离大于4.6米， 故选：A． 6．如图，O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE于点O，若∠BOC＝80°，则∠AOD的度数是（　　） A．70° B．50° C．40° D．35° 【解答】解：∵OD⊥OE于点O， ∴∠DOE＝90°， ∴∠AOD+∠BOE＝90°， ∵OE平分∠BOC，∠BOC＝80°， ∴∠BOE＝40°， ∴∠AOD＝50°． 故选：B． 7．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝20°，则∠AOM的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【解答】解：∵OE平分∠BON， ∴∠BON＝2∠EON＝40°， ∴∠COM＝∠BON＝40°， ∵AO⊥BC， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOM＝90°﹣∠COM＝90°﹣40°＝50°． 故选：B． 8．如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，这样做的理由是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【解答】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴