易错点08 三角形中的基本模型-备战2021年中考数学一轮复习易错题（上海专用）

易错点08 三角形中的基本模型 1. 双等腰模型 2. 互补型旋转 3. 60°，90°旋转 4. 手拉手模型 5. 三角形内、外角平分线交角 6.角平分线和高线夹角 01 双等腰模型 1．（2021·上海九年级专题练习）已知ABC与DAE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°． 求证：（1）ABE≌ACD； （2）DC⊥BE． 【分析】（1）ABC与DAE都是等腰直角三角形得到两组对边分别相等，利用两直角都加一个公用角∠CAE推得∠BAE=∠CAD，利用两边夹角相等两个三角形全等ABE≌ACD（SAS）， （2）设DC与AE交于F，由ABE≌ACD的性质得∠ADC=∠AEB，利用∠DAF=90º直角三角形中两锐角互余，利用相等关系推出∠CFE+∠FEC=90º（即∠FEC=∠AEB）由三角形内角和求出∠FCE即可． 【详解】（1）ABC与DAE都是等腰直角三角形， ∴AB=AC，AE=AD， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE， ∴∠BAE=∠CAD， 在ABE和ACD中， ∵AB=AC， ∠BAC=∠DAE， AE=AD， ∴ABE≌ACD（SAS）； （2）设DC与AE交于F， 由ABE≌ACD， ∴∠ADC=∠AEB， ∵∠DAF=90º， ∵∠AFD=∠EFC， ∴∠ADF+∠AFD=∠CFE+∠FEC=90º（即∠FEC=∠AEB）， ∴∠FCE=180º-∠CFE-∠FEC=180º-90º=90º， ∴DC⊥BE． 【点睛】本题考查三角形全等，和全等下的两对应线段的位置关系问题，掌握全等三角形的证明方法，会利用等式的性质补足全等的条件，会利用直角三角形两锐角互余的代换等量证线段的位置关系是解题关键． 02 互补型旋转 1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在四边形中，于，则的长为__________ 【答案】 【分析】过点B作 交DC的延长线交于点F，证明≌ 推出，，可得，由此即可解决问题； 【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示， ∵， ， ∴≌ ， ， ， 即， ， 故答案为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在中，，，点在上，点在上，，连接，，，垂足为．证明：． 【分析】如图，延长到点，使，连接、，根据四边形的内角和和邻补角互补可得，进而可根据SAS证明，可得，，进一步即可求得，然后利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可证得结论． 【详解】证明：如图，延长到点，使，连接、， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的内角和、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键． 2．（2019·上海单元测试）探究问题： (1)方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴ ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵ ∠EAF＝45°∴ ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°． ∵ ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°． 即∠GAF＝∠________． 又AG＝AE，AF＝AE ∴ △GAF≌△________． ∴ _________＝EF，故DE＋BF＝EF． (2)方法迁移： 如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF. 【分析】（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案； （2）将△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案； 【详解】解：（1）如图①所示； 根据等量代换得出∠GAF=∠FAE， 利用SAS得出△GAF≌△EAF， ∴GF=EF， 故答案为：FAE；△EAF；GF； (2)DE＋BF＝EF，理由如下： 假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转，m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB＝AD