易错点06 圆-备战2021年中考数学一轮复习易错题（上海专用）

易错点06 圆 1. 圆、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 2.径定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 3.直线与圆、圆与圆的位置关系 4.正多边形与圆 5.圆的综合题 01 圆、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1．（2020·上海普陀区·九年级二模）如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，∴，，，， ∴＝2，故①正确；AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误； OC⊥BD，故③正确；∠AOD＝3∠BOC，故④正确；故选：C． 【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 1．（2021·上海九年级专题练习）如图，若，那么与__________相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）． 【答案】一定 【分析】根据圆心角、弧、弦关系定理进行解答即可． 【详解】解：∵∠1=∠2，∴AB=AC,∴=，故答案为：一定． 【点睛】本题考查的是圆心角，熟知在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等是解答此题的关键．． 2.（2019·上海奉贤区·九年级一模）如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是_____． 【答案】35° 【分析】连接CB，OB,CO，根据题意易得AC＝CB，再由等腰三角形三角形的性质、圆周角定理，进行角的代换计算即可得到答案. 【详解】连接CB，OB,CO. 由题意＝ ,∴AC＝CB,且△ABC是等腰三角形，∠CAO＝∠CBO ∵AO＝OB，在△AOB中，∴∠BAO＝∠ABO＝20° ∴∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO＝140°，∵AC＝CB ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝70°，在△AOC中，AO＝CO， ∴∠CAO＝∠ACO＝（180°－70°）×＝55°，∴∠CAB＝∠CAO－∠OAB＝55°－20°＝35° 故答案为35°. 【点睛】本题主要考查的是等要三角形的性质、圆周角定理，熟练掌握知识点是本题的解题关键. 3．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知是⊙的弦，半径、与分别交于点、，且．求证：． 【分析】取中点，联结并延长与⊙交于，利用圆心角、弧、弦之间的关系得到，再根据及垂径定理求解即可； 【详解】证明：取中点，联结并延长与⊙交于． ∵是圆心，且是弦的中点，∴，， ∵且，∴． ∵，平分，∴．∴平分．∴． 又∵过圆心，∴．∴， 即． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理，准确分析证明是解题的关键． 02 径定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 1．（2021·上海崇明区·九年级一模）如图，在直角坐标系中，以点为圆心的弧与轴交于、两点，已知点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为___________． 【答案】 【分析】连接PA、PB，作于点F，再根据圆的垂径定理即可得出答案． 【详解】如图，连接PA、PB，作于点F，根据题意可知OF=1，再由垂径定理可知，AF=BF=AO+OF=2，所以OB=OF+BF=1+2=3，即B点坐标为（3，0）．故答案为：（3，0）． ． 【点睛】本题考查垂径定理．作出，再结合垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”是解答本题的关键． 2．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，已知⊙中，，弦，那么⊙的半径长等于______． 【答案】 【分析】过O作OC⊥AB于C，由垂径定理可得AC=AB=6；再由可得∠OAC=30°；则OC=AO,最后在Rt△AOC中应用勾股定理列式求出OA即可． 【详解】解：如图：过O作OC⊥AB于C，∴AC=AB=6 ∵，OA=OB，∴∠OAC=30°，∴OC=AO 在Rt△AOC中，由勾股定理可得：,即,解得OA=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键． 3．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，是的外接圆，AB长为4，，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点，求： （1）边BC的长；． （2）的半径． 【答案】（1）4；（2）． 【分析】（1）根据垂径定理证明点C在AB垂直平分线上，即可解题； （2）连结BO，先证明是等边三