笔记＆必记 6.3 平面向量基本定理及坐标表示-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册【志鸿优化训练】

M笔记&必记 【名师点拨】 向量的垂直与夹角的范围 (1)已知非零向量a,b,若a⊥b,则a·b=0,反之也成立; 2)设a与b夹角为O,利用公式cOs 可求夹角0,求解时注意向量夹角0的取值范围∈[0 例6-2-5:如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分 点,BA·CA=4,BF·CF=-1,则BE·CE的值是 答案 解析:(法一)设B=a,D声=b,则B·CA=(a+3b)·(-a+3b)=9 a2=4,萨·(=(a+b)·(a+b)={b12-1a12=-1,解得a2=13.b12=5, 则BECE=(a+2b)·(-a+2b)=4|b12-a 法二)设AB=a,AC=b,根据题意有 整理得 (a2+b2)+5a·b=-9 5(a2+b2)+26a·b CE=(b-5) 5×+26×4 于是BE 【名师点睛】 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积,需确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求 数量积的关键 (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算 6.3平面向量基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数 A1,A2,使a 我们把不共线的向量e1,e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 【拓展延伸】 定理的实质:由平面向量基本定理知,可将任一向量a在给出基底e1,e2的条件下进行分解—平面内 的任意向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示,这就是基本定理的实质 【名师点拔】 对平面向量基本定理可以从以下几个方面加深理解 (1)基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底,同一非零向量在不同基底下 分解式是不同的; (2)基底给定时,分解形式唯一,λ1,A2是被a,e1,e2唯一确定的数值; (3)e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底,则当a与e1共线时,A2=0;当a与e2共线时,A1=0 a=0时,A1=A2=0; (4)由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的向量 2平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解 3平面向量的坐标表示 如图所示,在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,,取 j}作为基底,对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y,使得a=x+yj 这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐 标,记作a=(x,y),① 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,①式叫做向量a的坐标表示 数学 第六章平面向量及其应用 【概念辨析】 点的坐标与向量的坐标的联系与区别 表示形式不同向量a=(x,y)中间用等号连接,而点A(x,y)中间没有等号 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x 不同 )的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外(x,y)既可 以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y) 联系 当平面向量的始点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 4平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),即两个向量和的坐标等于这两个向量相应 坐标的和 (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量差的坐标等于这两个向量相应 坐标的差 (3)若a=(x,y),λ∈R,则Ⅻ=(x,λy),即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相 应坐标 (4)在平面直角坐标系中,若A(x,y),则O=(x,y);若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=( (5)已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),0是a与b的夹角,则 ②|a=√x+y,b|=√x2+y2; IiI ty,y? b=x1x2+y1y2=0 平面向量共线的坐标表示 (1)平面向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a,b共线1y2-x2y1=0 (2)当a∥b且x2y2≠0时,有=,即两向量相应坐标成比例 (3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),要证这三点共线,只需证明AB与B共线,因为AB=(x2-x1 y2-y1),BC=(x-x2,y3-y2),所以只需证明(x2-x1)(y2-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0即可 延伸拓展】 若P=AP产2,则P与P1,P2三点共线 当A∈(0,+∞)时,P位于线段P1P2的内部 特别地,当A=1时,P