专题11 新定义问题（4）-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练

专题11 新定义问题（4） 【规律总结】 ※知识精要 新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题 目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。其主要目的是通过对新定义 的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。 ※要点突破 解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。 【典例分析】 例1．（2020·江西南昌市·七年级期末）对平面上任意一点(a，b)，定义f，g两种变换：f(a，b)＝(﹣a，b)，如f(1，2)＝(﹣1，2)；g(a，b)＝(b，a)，如g(1，2)＝(2，1)，据此得g[f(5，﹣9)]＝（　　） A．(5，﹣9) B．(﹣5，﹣9) C．(﹣9，﹣5) D．(﹣9，5) 【答案】C 【分析】 根据f，g两种变换的定义自内而外进行解答即可． 【详解】 解：由题意得，f（5，﹣9）]＝（﹣5，﹣9）， ∴g[f（5，﹣9）]＝g（﹣5，﹣9）＝（﹣9，﹣5）， 故选：C． 【点睛】 本题考查了新定义坐标变换，根据题意、弄懂两种变换的方法是解答本题的关键． 例2．（2019·浙江省义乌市望道中学七年级月考）对于正数规定，例如，计算__________． 【答案】 【分析】 根据规定式子可得，从而可得，由此即可得． 【详解】 因为对于正数规定， 所以， 所以， 则原式， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了有理数加法运算的规律型问题，根据规定的运算式子，找出规律是解题关键． 例3．（2020·宁波市镇海蛟川书院九年级期中）定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”． （1）如图1，在的正方形网格中，有一个网格和两个网格四边形与四边形，其中是被分割成的“友爱四边形”的是______． （2）如图2，四边形是“友爱四边形”，对角线是“友爱线”，同时也是的角平分线，若中，，，，求友爱四边形的周长． （3）如图3，在中，，，的面积为，点D是的平分线上一点，连接，．若四边形是被分割成的“友爱四边形”，求的长． 【答案】（1）四边形ABCE；（2）13或10；（2）2 【分析】 （1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”的定义判断； （2）根据旋转变换的性质、平行线的性质、两角相等的两个三角形相似证明； （3）AM⊥BC，根据含30°的直角三角形的特殊性质及勾股定理用AB表示出AM，根据三角形的面积公式得到BC×AB＝12，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案． 【详解】 解：（1）∵AB＝2，BC＝1，AD＝4， ∴由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝， AE＝＝2，CE＝＝5， ∴＝＝＝， ∴ABC∽EAC， ∴四边形ABCE是“友爱四边形”， ∵≠， ∴ABC与ACD不相似， ∴四边形ABCD不是“友爱四边形”， 故答案为：四边形ABCE； （2）∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD， 当∠B=∠DAC时，ABC∽DAC， 则＝＝， ∵，，， ∴＝＝， 解得AD＝，CD＝， ∴友爱四边形的周长为； 当∠B=∠D时，ABC∽ADC， 则＝＝＝1， ∵，，， ∴＝＝1， 解得AD＝2，CD＝3， ∴友爱四边形的周长为， 综上所述，友爱四边形的周长为13或10； （3）如图3，过点A作AM⊥BC于M， 则∠AMB＝90°， ∵， ∴∠BAM＝30°， ∴BM＝AB， ∴在Rt△ABM中，AM＝ ＝ ＝AB， ∵ABC的面积为3， ∴BC×AB＝3， ∴BC×AB＝12， ∵四边形ABCD是被BD分割成的“友爱四边形”，且AB≠BC， ∴ABD∽DBC ∴， ∴BD2＝AB×BC＝12， ∴BD＝＝2． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友爱四边形”的定义是解题的关键． 【好题演练】 一、单选题 1．（2020·广东深圳市·九年级二模）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，n)是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ） A．﹣12 B．0 C．4 D．16 【答案】A 【分析】 根据和谐点的定义与二次函