专题6.3 平面向量的数量积-2020-2021学年高一数学同步培优专练（人教A版2019必修第二册）

专题6.2 平面向量的数量积 知识储备 一　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示). 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 二　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 【思考】若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0. 【答案】在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b. 三　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 四　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ (4)|a·b|≤|a||b|. 五　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【思考】若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c? 【答案】不可以. 已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下： 如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|， b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|. 所以a·b＝b·c，但是a≠c. 能力检测 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单项选择题（本大题共8小题