专题08 ：第四章数列单元测试题（中档题）-【上课小助手】2020-2021学年高二数学（人教A版选择性必修第二册）

第四章数列单元测试题（中档题）（解析版） 一、单选题 1．等差数列 的前n项和为 .若 ， ，则 的公差为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】 根据等差数列的通项公式及求和公式直接求解 【详解】 是等差数列，且 ， 故 ，解得 ， 故选：C. 2．在等比数列 中，首项 EMBED Equation.DSMT4 则项数n为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】 由题意可得等比数列通项 ，则 故选：C 3．已知等比数列 的公比为q，首项为a，前n项和为 ，（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【分析】 就 、 、 及 分类讨论后可得 的符号情况，从而可得正确的选项. 【详解】 因为 为等比数列，故 ， 若 ，则 ，故 ，故C错误，A正确，B正确， 若 ，则 ，故 ， 若 ，则 ，故 ， 若 ，则 ，故 ， 若 ，则 ，其中 ， 取 ， 则当 为偶数，则 即 ； 当 为奇数，则 即 ， 故AD错误. 故选：B. 4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用等差数列的性质求出 的值，再利用等差中项的性质结合等差数列求和公式可求得 的值. 【详解】 ，所以， ， 因此， . 故选：B. 5．已知等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列 的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据等差数列前 项和公式列方程求得 与公差 ，即可求通项公式. 【详解】 设公差为 ，依题意得 解得 所以 故选：B 6．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是 尺，芒种的日影子长为 尺，则冬至的日影子长为（ ） A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺 【答案】D 【分析】 根据题意转化为等差数列，求首项. 【详解】 设冬至的日影长为 ，雨水的日影长为 ，根据等差数列的性质可知 ，芒种的日影长为 ， ，解得： ， ， 所以冬至的日影长为 尺. 故选：D 7．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据等差数列片断和的性质得出 、 、 、 成等差数列，并将 和 都用 表示，可得出 的值． 【详解】 若数列 为等差数列，则 也成等差数列， 因为 ，所以 ， 则数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， 则 ， 所以 ，所以 . 故选：A． 8．在等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 （ ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据 ， 是方程 的两根，得到 ， ，然后利用等比中项求解. 【详解】 设 为数列 的公比， 因为 ， 是方程 的两根， 所以 ， ， ∴ ， 又 ， ， ∴ ， ∴ . 故选：A 二、多选题 9．等差数列 的前 项和为 ，公差 .若 ，则以下结论一定正确的是（ ） A． B． 的最小值为 C． D． 存在最大值 【答案】AC 【分析】 首先根据 ， 得到 ，再依次判断选项即可. 【详解】 因为 ，所以 ， 又因为 ，解得 . 对选项A， ，故A正确； 对选项B， ， 因为 ， ， ， ， 所以 的最小值为 或 ，故B错误； 对选项C， ， 又因为 ，所以 ，即 ，故C正确； 对选项D，因为 ， ，所以 无最大值，故D错误. 故选：AC 10．已知正项等比数列 满足 ， ，若设其公比为 ，前 项和为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】 由条件可得 ，解出 ，进而可得通项公式和前n项和，再由 可判断D. 【详解】 由题意 ，得 ，解得 （负值舍去），选项A正确； ，选项B正确； ，所以 ，选项C错误； ，而 ，选项D正确． 故选：ABD. 11．已知在数列 中， ，其前 项和为 ，下列说法正确的是（ ） A．若 为等差数列， ，则 B．若 为等比数列， ，则 C．若 为等差数列，则 D．若 为等比数列，则 【答案】AC 【分析】 求出等差数列公差，利用等差数列的求和公式可求得 的值，可判断A选项的正误；利用等比中项的性质可判断B选项的正误；利用平方差公式可判断C选项的正误；取 可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，设等差数列 的公差为 ，由已知条件可得 ，解得 ， 所以， ，A选项正确； 对于B选项，设等比数列 的公比为 ，则 ， 由等比中项的性质可得 ， ，B选项错误； 对于C选项，设