专题07复数的四则运算（知识精讲）-2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册） 专题07复数的四则运算 本节知识点与题型快速预览 知识点课前预习与精讲精析 核心知识点1：复数的加、减运算及其几何意义 1．复数的加法与减法 (1)复数的加法与减法运算法则 设a＋bi和c＋di是任意两个复数，我们定义复数的加法、减法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，即两个复数相加(减)就是实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，其结果仍然是一个复数． (2)复数加法的运算律 ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2．复数加减法的几何意义 (1)设复数z1，z2对应的向量为，，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数，z1－z2是连接向量和的终点并指向的向量所对应的复数． (2)复平面内的两点间距离公式d＝|z1－z2|(其中z1，z2是复平面内两点Z1和Z2所对应的复数，d为Z1和Z2之间的距离)． 核心知识点2：复数的乘、除运算 1．复数代数形式的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 3．共轭复数 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则 (1)z1，z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d． (2)z1，z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0． 4．复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(c＋di≠0)． 1．复数z1＝（2m+7）+（m2﹣2）i，z2＝（m2﹣8）+（4m+3）i，m∈R，若z1＝z2，则m＝　　． 2．如果（x+y）+（2x﹣y）i＝（3x+2y）+4i，则实数x，y的值分别为　　． 3．　　． 4．计算：（6﹣3i）+（3+2i）﹣（3﹣4i）﹣（﹣2+i）＝　　． 5．设z1＝x+2i，z2＝3﹣yi，x，y∈R，且z1+z2＝5﹣6i，求z1﹣z2． 典型题型与解题方法 必考必会题型1：复数的加、减运算 【典型例题】计算： （1）（3﹣5i）+（﹣4﹣i）+（3+4i）； （2）（﹣7i+5）+（9﹣8i）+（3﹣2i）． 【题型强化】计算： （1）（2+5i）﹣（4﹣6i）+（﹣2﹣3i）； （2）（3a+2bi）+5i﹣（4a﹣3bi）（a，b∈R）． 【收官验收】计算：（1﹣2i）+（﹣2+3i）+（3﹣4i）+（﹣4+5i）+…+（﹣2016+2017i）+（2017﹣2018i）+（﹣2018+2019i）． 【名师点睛】解决复数加、减运算的思路： 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 必考必会题型2：复数的乘、除运算 【典型例题】若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数，求实数b的值． 【题型强化】计算： （1）（i）（）（1+i）； （2）（4﹣i）（6+2i）﹣（7﹣i）（4+3i）． 【收官验收】计算下列各式的值． （1）； （2）； （3）； （4）． 【名师点睛】解决复数的乘、除运算问题的思路： 1.复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成，并将实部、虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如，=. 2.复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. 必考必会题型3：虚数单位的幂的周期性 【典型例题】化简：　　． 【题型强化】计算：1+2i+3i2+4i3+…+10i9＝　　． 【收官验收】计算： （1）（）2018； （2）i+i2+…+i2019． 【名师点睛】 1．虚数单位i的周期性． (1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)．n也可以推广到整数集． (2)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)． 2．常用结论： (1)(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；(2)＝－i，＝i； (3)＝－i． 必考必会题型4：共轭复数的应用 【典型例题】已知复数z（i为虚数单位），则|z|＝　　，　　． 【题型强化】已知z＝1﹣3i，则|i|＝