专题06复数的概念（知识精讲）-2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册） 专题06复数的概念 本节知识点与题型快速预览 知识点课前预习与精讲精析 核心知识点1：数系的扩充和复数的概念 1．数系扩充的脉络、原则 脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系 原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集； (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用； (3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变； (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾． 2．复数的引入 对于方程x2＋2x＋3＝0，由于Δ＝－8，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数i，使得i2＝－1，则此方程的解可写成x1＝－1－i，x2＝－1＋i． 3．复数的定义： 形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1． 这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．全体复数构成的集合叫做复数集． 4．复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d． 5．复数相等 复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是a＝0且b＝0，a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件． 6．复数的分类 (1)复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔． (2)集合表示： 核心知识点2：复数的几何意义 1．复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系． (2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是(a，b)，不是(a，bi)． (3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系． 如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量O表示． 复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量O的一一对应关系如下： 3．复数的模 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为O，则O的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝． 当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值． 4．复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． 1．已知复数z＝m2（1+i）﹣（m+i）（m∈R）．若z是实数，则m的值为　　；若z是虚数，则m的取值范围是　　；若z是纯虚数，则m的值为　　． 2．复数：z＝（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i对应点在虚轴上，则实数a＝　　． 3．复数z＝5+20i在复平面内对应的点的坐标是　　． 4．已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是负实数，则实数a的值为　　． 5．已知复数z＝（m2﹣m）+（m﹣1）i（m∈R）． （1）若z为实数，求m值； （2）若z为纯虚数，求m值； （3）若复数z对应的点在第一象限，求m的范围． 典型题型与解题方法 必考必会题型1：复数概念的考查 【典型例题】在复平面内，复数z＝（m+2）+（m2﹣m﹣2）i对应的点在第一象限，则实数m的取值范围为　　． 【题型强化】若复数z＝（m+1）+（2﹣m）i（m∈R）是纯虚数，则m＝　　． 【收官验收】已知复数z＝m（m﹣2）+（m﹣2）i，其中i为虚数单位．若z满足下列条件，求实数m的值： （1）z为实数； （2）z为纯虚数； （3）z在复平面内对应的点在直线y＝x上． 【名师点睛】求解复数分类问题的关键： (1)复数z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0. (2)复数z=a+6i(a，b∈R)为实数的充要条件是b=0. 3)复数z=a+b(a，b∈R)为虚数的充要条件是b≠0. 依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数的取值，再结合以上结论求解. 复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解. 必考必会题型2：复数的几何意义 【典型例题】在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是1﹣i，﹣1+2i，则向量对应的复数是　　． 【题型强化】在复平面内，复数z＝2i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是　　． 【收官验收】若复数z满足|z﹣z0|+|z﹣3i|＝4，且复数z对应的点的轨迹是椭圆，则复数z0的模的取值范围是　　． 【名师