专题03平面向量基本定理及坐标表示（知识精讲）-2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册） 专题03平面向量基本定理及坐标表示 本节知识点与题型快速预览 知识点课前预习与精讲精析 核心知识点1：平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 结论 对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 把不共线的向量e1，e2叫做表这一平面内所有向量的一组基底 【知识微点评】 (1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0． (2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组． (3)这个定理可推广为：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一． 核心知识点2：平面向量的正交分解及坐标表示 1．平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底． (2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标． (3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．向量与坐标的关系 设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 【知识微点评】 点的坐标与向量的坐标的联系与区别 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关． 1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标． (2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同．即 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔ 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点的坐标却可以不同． 2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2)． (2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向量有无穷多个．因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y)． 4．平面向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa＝(λx1，λy1) 向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 核心知识点3：平面向量的垂直与平行 1．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当x1y2＝x2y1时，a∥b． 【知识微点评】 两个向量共线条件的三种表示方法 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当b≠0时，a＝λb． 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0． 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征． (3)当x2y2≠0时，＝． 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 2．平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 数量积 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 两个向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 【知识微点评】 1.公式a·b＝|a