专题02平面向量的运算（知识精讲）-2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册） 专题02平面向量的运算 本节知识点与题型快速预览 知识点课前预习与精讲精析 核心知识点1：向量的加法运算 1．向量的加法 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个向量． (2)三角形法则：如图甲所示，已知非零向量a、b，在平面内任取一点，作＝a，＝b，则向量叫做向量a与b的和，记作a＋b.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则． (3)平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b(如图乙所示)，作＝a，＝b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则向量＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 【知识微点评】 向量加法的平行四边形法则和三角形法则 (1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． (2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．当向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用了． (3)向量求和的多边形法则 ①已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则．即 ＋＋＋…＋An－2An－1＋An－1An＝ ②首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0． 2．向量加法的交换律 已知向量a、b，如图所示，作＝a，＝b，如果A、B、C不共线，则＝a＋b． 作＝b，连接DC，如果我们能证明＝a，那么也就证明了加法交换律成立． 由作图可知，＝＝b，所以四边形ABCD是平行四边形，这就证明了＝a，即a＋b＝b＋a.向量的加法满足交换律． 3．向量加法的结合律 如图，作＝a，＝b，＝c，由向量加法的定义，知＝＋＝a＋b， ＝＋＝b＋c， 所以＝＋＝(a＋b)＋c，＝＋＝a＋(b＋c)． 从而(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，即向量的加法满足结合律． 【知识微点评】 1.我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律： 一质点从点A出发，①先走过的位移为向量a，再走过的位移为向量b，②先走过的位移为向量b，再走过的位移为向量a，则方案①②中质点A一定会到达同一终点． 2．多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行．如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)． 核心知识点2：向量的减法运算 1．相反向量 定义 如果两个向量长度相等，而方向相反那么称这两个向量是相反向量 性质 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝0 ②若a、b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0 ③零向量的相反向量仍是零向量 2．向量的减法 定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝.如图所示 几何意义 如果把两个向量a、b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 【知识微点评】 1.向量减法的三角形法则中，表示a－b，强调了差向量的“箭头”指向被减向量．即作非零向量a，b的差向量a－b，可以简记为“共起点，连终点指向被减”． 2．由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以用向量减法的定义a－b＝a＋(－b)(即平行四边形法则)作差向量，显然，此法作图较烦琐． 3．如图，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线所对应的向量＝a＋b，＝a－b，这一结论在以后的学习中应用非常广泛． 核心知识点3：向量的数乘运算 1．向量的数乘 定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa 长度 |λa|＝|λ||a| 方向 λ>0 λa的方向与a的方向相同 λ＝0 λa＝0 λ<0 λa的方向与a的方向相反 2．数乘的几何意义 λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍． 【知识微点评】 (1)λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义． (2)对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量． (3)注意向量数乘的特殊情况： ①若λ＝0，则λa＝0； ②若a＝0，则λa＝0． 应该特别注意的是结果是向量0，而非实数0． 3．