4.4 数学归纳法-【上课小助手】2020-2021学年高二数学（人教A版选择性必修第二册）

4.4 数学归纳法 我是一毛 我是二毛 我是三毛 我是谁？ 我不是四毛！我是小明！ 猜：四毛！ 探究点 数学归纳法的原理与定义 问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法. 完全归纳法 （1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？ （2）你的猜想一定是正确的吗？ 猜想数列的通项公式为： 解: 不完全归纳法 从一类对象中的部分对 象都具有某种性质推出 这类对象全体都具有这 种性质的归纳推理方法 验证: 逐一验证，不可能！！！ 能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？ 多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示 数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立. 相当于多米诺骨牌开始倒的第一张. 数学归纳法的第二步：假设当n=k时命题成立， 并证明当n=k+1时命题也成立. 相当于多米诺骨牌第k张倒后第k+1张是否也会跟着倒. 1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题. 2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况. 多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗？相似性体现在哪些方面呢？ 上述2，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下. 你能类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明上述问题2猜想的结论吗？ 猜想数列的通项公式为 证明: (1)当 猜想成立. (2) 那么,当 根据(1)和(2)，猜想对于任何 都成立. 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立. 2.（归纳递推）假设当n=k(k≥n0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法. 框图表示 例1.用数学归纳法证明 证明:(1)当n=1时,左=12=1， ∴n=1时,等式成立. (2)假设n=k时,等式成立，即 那么,当n=k+1时 左边=12+22+…+k2+(k+1)2= 即当 n=k+1时命题也成立. 由(1)和(2),可知原命题对任何nN*都成立. 用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•…•(2n-1)时，在证明n