4.3. 1等比数列的概念-【上课小助手】2020-2021学年高二数学（人教A版选择性必修第二册）

4.3.1等比数列的概念 给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？ 猜一猜： 把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！ 庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 意思是“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完” . 如果将“一尺之棰”视为一份， 则每日剩下的部分依次为： 这就是我们今天所要研究的特殊数列——等比数列. 下面我们再看几个例子，考察等比数列的共同特征. （1）你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸、捏合、再拉伸、捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条. 这样捏合8次后可拉出多少根细面条？ 思考：一位拉面高手能用一块面连续拉出10多万根面条，你知道他需要捏合，拉伸多少次吗？ 第1次是1根，后面每次捏合都将1根变为2根，故有 第2次捏合成 根； 第3次捏合成 根； …… 第8次捏合成 根. 前8次捏合成的面条根数构成一个数列 1,2,4,8,16,32,64,128. ① 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都是2. （2）星火化工厂今年产值为a万元，计划在今后5年中每年比上年产值增长10％，试列出从今年起6年的产值（单位：万元）. 第1年产值：a; 第2年产值：a+a×10﹪=a(1+10﹪); 第3年产值： a(1+10﹪)+ a(1+10﹪) ×10﹪= …… 第6年产值： 故这6年的产值构成一个数列： 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都是1+10%. 研究上述数列的特征及变化规律，可以发现什么？ 等比数列的概念 可以看出数列①，②有如下的共同特征：从第2项起，每一项与前一项的比都是与项数n无关的常数. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.那么这个数列叫作等比数列，称这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0). 等比数列定义： 因此，数列①的公比q=2；数列②的公比q=1+10%； 由此定义可知