专题04 （圆锥曲线基本量的运算问题)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

专题四 圆锥曲线基本量的运算问题 江苏高考对圆锥曲线基本量的运算考查，一般以选择填空题为主，若是考查双曲线和抛物线，则试题为容易题，若是考查椭圆或圆锥曲线与直线、圆的综合，试题为中档题，考查重点是圆锥曲线的几何性质，特别是离心率的有关计算. 自我检测 一、单项选择题 1. 设是双曲线C：的一个焦点，，是C的两个顶点，C上存在一点P，使得与以为直径的圆相切于Q，且Q是线段的中点，则C的渐近线方程为    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查双曲线的定义和性质，考查双曲线渐近线方程的求法，考查运算能力，是中档题． 运用中位线定理，可得，，进行求解即可． 【解答】 解：不妨记是双曲线C的下焦点，设是双曲线C的上焦点，记是双曲线C的下顶点，是双曲线C的上顶点， 画出如图所示的图象， 由于O为的中点，Q为线段的中点， 则由中位线定理可得，， 由与以线段为直径的圆相切于点Q， 则，， 由双曲线的定义可得，， 即有， 由，由勾股定理可得， 即，则，即． 的渐近线方程为． 故选：C． 2. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】解：不妨设椭圆的方程为，双曲线方程为， 可设点P在第一象限，，，， 由椭圆和双曲线的定义得，， 解得，， 在中，由余弦定理得， 即，化为， 即，即为， 由， 可得，当且仅当时取得等号， 所以的最大值为， 故选：B． 不妨设椭圆的方程为，双曲线方程为，可设点P在第一象限，，，，分别运用椭圆和双曲线的定义和三角形的余弦定理，结合离心率公式可得，再由基本不等式可得所求最大值． 本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的余弦定理和基本不等式的运用，化简整理的运算能力，属于中档题． 3. 已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左右焦点，两曲线在第一象限的交点为P点，是以为底边的等腰三角形。若，椭圆和双曲线的离心率分别为，则的取值范围是  A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属中档题． 设出双曲线和椭圆的方程分别为：，，由是以为底边的等腰三角形，，根据双曲线和椭圆的定义得到，，运用三角形的三边关系求得c的范围，然后利用离心率的公式进行转化求解即可． 【解答】 解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为：， 是以为底边的等腰三角形，， ，， 即有，，， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得， 可得，即有． 由离心率公式可得， ， ， 则， 即， 故的取值范围是， 故选B． 4. 椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点P对两公共焦点，张的角为，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查椭圆和双曲线的定义以及几何性质，属于中档题． 椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，交点P到两焦点的距离分别为m，，焦距为2c，根据椭圆和双曲线的定义求解即可． 【解答】 解：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，交点P到两焦点的距离分别为m，，焦距为2c， 则， 又，， 故，， 因此， 所以， 所以， 故选B． 5. 设，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点，若和的离心率分别为，，则的值为 A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】解：由题意设双曲线的方程为：，椭圆的方程为：， 由题意可得， 焦点，则， 因为，所以， 在椭圆中，， 所以 所以， 故选：A． 设双曲线的方程，由题意可得，再由双曲线的定义可得的表达式，双曲线和椭圆中可得与a，c的关系，进而求出离心率的倒数和． 本题考查圆锥曲线的定义及性质，属于中档题． 6. 已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点P为和的一个公共点，且，若，则的值是    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查三角形的余弦定理的应用，考查化简运算能力，属于中档题． 设椭圆和双曲线的半焦距为c，长半轴长为，实半轴长为，运用离心率公式和椭圆、双曲线的定义，结合三角形的余弦定理，可得与的关系式，再由已知的值求得的值． 【解答】 解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，长半轴长为，实半轴长为， 即有，， 设P为第一象限的点，，， 由椭圆和双曲线的定义可得，， 解得，， 由，可得， 即为， 即有，又， ． 故选：D． 7. 已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查了椭圆