12 扫描圆锥曲线常见的易错点-《中学生数理化》高二数学2021年1月刊

中学生数理化罡薮学墨题年期折 扫描圆锥曲线常见的易错点 ■广东省汕头市澄海凤翔中学徐春生 易错点1忽视动点坐标的设法致错 D.线段F1F2的中垂线 例设线段AB的两个端点A、B分 错解:根据椭圆的定义可知,点M的轨 别在坐标轴上滑动,且AB|=4,点P是线迹是椭圆,故选A 段AB的中点,则点P的轨迹方程是 错因剖析:在椭圆的定义中,点M到两 定点F1,F2的距离之和必须大于两定点的距 离,即MF1|+MF2|>|F1F2,亦即2a 错解:如图1所示,设 2c。而本题中|MF1|+MF F1F2|,所 A(0,y),B(x,0)。由中点 以点M的轨迹不是椭圆,而是线段F1F2 坐标公式可得点P的坐标 正解:因为点M到两定点F1(0,-1) F2(0,1)的距离之和为|F1F2|,所以点M的 为(22),连接OP,由直 轨迹是线段F1F2,选C。 角三角形斜边上的中线性 易错点3忽视标准方程的特征致错 质可得OP 例3已知抛物线y=mx2(m≠0)的 准线与直线y=1的距离为3,则抛物线的标 2。所以(x)+(2)=4,即x2+y2=16 准方程是 错解:抛物线y=mx2(m≠0)的准线方 因此,点P的轨迹方程是x2+y2=16,选A。 错因剖析:求轨迹方程,即求轨迹上任意程为y= 因为与直线y=1的距离为3 点的坐标所满足的方程,并检验以方程的 解为坐标的点是否都是轨迹上的点,因此,应 的直线为y=-2或y=4,所以-"=-2 设轨迹上任意一点的坐标为(x,y)。上述解 解得 故抛物 法是因为动点坐标设的不对,即运用方法不 当而导致错误 线的标准方程是y=8x2或y=-16x2。 正解:设中点P(x,y),A(0,m),B(n 错因剖析:错解忽视了拋物线标准方程 0),则m=2y,n=2。因为|AB|=4,所以 中的系数,应位于一次项前这个特征,故本题 16,(2x)2+(2y)2=16,即 应先化为x2=y的形式,再求解。 因此,点P的轨迹方程是x2+y2=4,选B 易错点2忽视定义中的条件致错 正解:y=mx2(m≠0)可化为x2 例2若点M到两定点F1(0,-1) 其准线方程为y=4m。因为与直线y=1 F2(0,1)的距离之和为2,则点M的轨迹是 的距离为3的直线为y=-2或y=4。所以 A.椭圆 4=-2或一D=4,解得m=或m C.线段F1F 因此,抛物线的标准方程是 解题篇易错题归类剖析 高二数学2021年1 冲學生表理化 或 上,点A(m,-3)在抛物线上,且|AF|=5 易错点4忽视隐含条件致错 则抛物线的标准方程为 侧4已知正方形ABCD的顶点A、B 错解:因为抛物线的焦点F在x轴上, 在抛物线y2=x上,顶点C、D在直线y 且点A(m,—3)在抛物线上,所以抛物线的 x+4上,求正方形的边长 标准方程可设为y2=2px(p>0)。设点A 错解:因为直线AB与直线y=x+4平到抛物线准线的距离为d,则d=|AF 行,所以设直线AB的方程为y=x+b。设 A(y2,y),B(y2,y2),则由/y=x, +m,所以 消去 x,得y2-y+b=0。所以y1+y2=1,y1y 解得 AB k儿(y1+y2)2-4y,y27 所以抛物线的标准方程为 或 2(1-4b)。因为直线AB与直线y=x+4 错因剖析:当拋物线的焦点位置无法确 间的距离d=1b-4 所以2(1—4b 定时,需分类讨论 正解:因为抛物线的焦点F在x轴上, 、2-,即b2+8b+12=0,解得b=-2或且点A(m,-3)在抛物线上,所以当m>0 时,点A在第四象限,抛物线的标准方程可 所以|AB|=32或52 设为y2=2px(p>0) 错因剖析:在考虑直线AB与抛物线相 设点A到抛物线的准线的距离为d,则 交时,方程y2-y+b=0的判别式△>0,以 d=AF 此来限制b的取舍 正解:因为直线AB与直线y=x+4平 p 行,所以设直线AB的方程为y=x+b。设 解得 A(y1,y1),B(y2,y2),则由 x+b 所以抛物线的标准方程为y2=2x或 得y2 所以y y m<0时,点A在第三象限,抛物线的 AB +y2)2-4y1y2]标准方程可设为 2px(p>0) 设点A到抛物线的准线的距离为d,则 2(1-4b) 2pm=(-3)2, 因为直线AB与直线y=x+4间的距离d=1AF|= 8b+12=0,解得b=-2或b 解得 因为△=1-4b>0,所以b< 所以抛物线的标准方程为y 2或b=-6都满足△>0,所 以b=-2或b=-6。所以|AB|=3或5/2 综上所述,抛物线的标准方程为y2=2x 易错点5忽视焦点位置的讨论致错 或 例5已知抛物线的焦点F在x轴 (责任编辑徐利杰)