09 圆锥曲线综合问题热点题型分析-《中学生数理化》高二数学2021年1月刊

中学生数理代三数学经魏率方法 圆锥曲线綜合问题热点题型分桁 ■安徽省利辛高级中学胡彬名师工作室胡彬 圆锥曲线的综合题型包括:圆锥曲线与 4DP,所以x3=4x4,即 直线或与圆的联立问题;直线与曲线、曲线与 曲线的位置关系问题;圆锥曲线与其他知识 又因为x3+x4=2 (如函数、数列、不等式、向量、导数等)的综合 问题。 圆锥曲线的综合问题已经逐渐向多元 化、复杂化发展,视分类标准而定,常可分为 弦长冋题、中点弦问题、范围与最值问题、定 点(值)问题、轨迹问题与探索性问题,同时还 增加开放性等创新型问题,笔者通过对该类 解得t=9 问题的归纳发现:除了具有必备知识、关键能 所以CD|=/2+1/(x3+x1)2-4x3x1= 力还要具有良好的数学核心素养,才能较好25× 地处理此类综合问题。下面以典型例题来分 当t=8时,CD|=2后 类剖析这类问题 热点题型1弦长问题 例!(2020年郑州模拟卷)已知抛物 点评:当直线和圆锥曲线相交时,求弦长 线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l:y 问题的方法有以下几种 =2x-2,直线l与抛物线E的交点为A,B (1)定义法,过圓锥曲线的焦点的弦长问 题,利用圆锥曲线的定义,可优化解题过 与抛物线E的交点为C,D,与y轴交于点P (2)点距法,将直线方程和圆锥曲线的方 (1)求抛物线E的方程 程联立,求出两交点的坐标,再运用两点间距 (2)若CP=4DP,求CD|的长。 离公式求弦长; (3)弦长公式法,它体现了解析几何中设 解析:(1)联立方程组 整理而不求的思想,其实质 得2x2-(4+p)x+2=0 离公式以及一元二次方程根与系数的关系求解 设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理可 热点题型2中点弦问题 4+p 例2(2019年泉州模拟卷)已知抛物 得 线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A,B 由抛物线的定义可得|BF|+|AF 在抛物线C上,F为线段AB的中点,AB x1+x2+p 十p=8,解得p= (1)求抛物线C的方程; 所以抛物线E的方程为y2=8x。 (2)过F的直线l与抛物线C交于M,N (2)设直线m:y=2x+t。 两点,若抛物线C上仅存在三个点K(i=1, 联立方程组 整理得 2,3),使得△MNK;的面积等于16,求直线l 的方程 4x2+(4t-8)x+t2=0。 解析:(1)由抛物线的对称性,可知AB∥ 由△=(4t-8)2-16t2>0,解得t<1。 设C(x3,y3),D(x1,y4)。因为CP= 轴,且A,B的坐标分别为(-2,2 酸方片中學生数理化 的2倍,于是得到直线的斜率,进而获解。 热点题型3范围问题 所以4=2p×2,解得p=2或-2(舍去) 倒3(2020 故抛物线C的方程为x2=4y 年福建模拟卷)如图 (2)直线4斜率显然存在,设直线的方1,椭圆C:a+b2= 程为y=kx+1。 1(a>b>0)的左、右 消去y,得 顶点分别为A1、A2, y=kx+1 上、下顶点分别为 x2-4kx-4=0 B1、B2,且B1(0,1),△A1B1B2为等边三角 设M(x1,y1),N(x 形,过点(1,0)的直线与椭圆C在y轴右侧的 4k,x1x2=-4。 部分交于M、N两点 所以 MN (1)求椭圆C的标准方程; (x1+x2)2-4x1x2=4(k2+1) (2)求四边形B2MNB1面积的取值范 点K在抛物线C上,设点K(m,1m),则围 解析:(1)因为B1(0,1),所以b= 因为△A1B1B2为等边三角形,所以a= 点K到直线l的距离d 3b=/3。椭圆C的标准方程为-+y2=1 △MNK的面积等于16,所以关于m的 (2)设四边形B2MNB1的面积为S。 方程: ①当直线MN的斜率不存在时,可得 4(k2+1)× k2+1 2/k2+1|km-m2+1|=16恰有三个不 同实根,即 ②当直线MN的斜率存在时,设直线 MN的方程为y=k(x-1) 个不同实根。 设M(x1,y1 所以m=2k,(2k)2-k·2k 联立{3y=1, 得 k2+1= 解得k=/3或k y=k(x-1) (3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0 所以直线l的方程为y=/3x+1或y 则 3x+1 中点弦”问题求解策略 k (r (1)点差法,先将两个交点的坐标代入圆2/3k2k 锥曲线的方程,作差,由k (2)综合法,设中点弦所在直线的方程 +x2)×1+× 并与圆锥曲线的方程联立,消去x(或y)得 关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数 的关系可得两根之和即为中点纵(或横)坐标 中学生数理代三数学经魏率方法 上,所以直线l的斜率存在且不为0。 3×2 设A( 则 则S t+3,t∈ (2 设直线AB:y=kx+t(k≠0