12 让高考数学压轴题的解法来得更自然些——剖析2020年全国Ⅲ卷理科第21题-《中学生数理化》高二数学2021年2月刊

数皇即遭胃中生理化 让高营数医题的偶得自然 剖析2020年全国Ⅲ卷理科第21题 ■云向省昆明市第一中学李春宜 高考数学中的压轴题,是高中数学教师图1所示,f(x)只有唯一零 和优秀学生备考的关键,压轴题的成收得失,点 对优秀学生而言,事关人生理想是否实现,对 高中备考教师来说,事关能否培养出尖子生 所以,每年高考数学中的压轴题,都备受师生可知,x;<-1,不满足题设条 关注。高考数学中的压轴题,无疑是有相当件 难度的,对同学们和老都是有战的,因 此中学备,钟的路分,(2)=0时,如图2所示 线备考师生的角度看,显得不够自然,本 文以2020年高考数学全国Ⅲ卷理科第21题 f(x)有两个零点x 为例,剖析压轴题的解题思路,在思路分析和 x2=-1.符合题意 数学语言表述上,尽可能满足一线师生的“口味” (2020年高考数学全国Ⅲ卷理科第21 当f(-) 题)设函数f(x)-x2+bx+c,曲线y=f 2) 0时,如图3所示 在点(2,(2)处的切线与>轴垂直 f(x)有三个零点 点,证明,f(x)所有零点的绝对值都不大于1。 2)方法1:由(1)得f(x)-x2-x+ 2·2<x1<1,符合题意 接下来,根据f(x)的极大值 (2) 符号,分五种情况讨论即可 =1符合题意 ①当f(2)>0且f(是)>0时,如 0时,f(x)只有唯 零点x4,如图5所示 3(1-m3)≥0,所以方程的两根为x 由f(1)=c+x<0可 知,x>1.不满足题设条件 接下来只需证 本思路涉及的数学思想 即证|m±/3(1-m2)|≤2 主要是分类讨论和数形结合 又因为|m±/3(1-m2)1≤1m1+ 只要能根据极大值和极小值 的符号进行准确分类(不重不漏),画出每一 种情况对应的函数图像,充分结合函数的单≤2 调性,由零点的存在性定理,考察端点处函数 值的符号,同时观察得到明显的函数零点,即(0≤0≤2)·则1m1+/31-m5=sn+ /Scos 0=2sin 命题得证 是函数f(x)的一个零点,且|m1≤1.由 评楫:方法2涉及的歡学思想主要是化 特化,用到的敏学 是法。同学们只要熟这些基本数学 想和方法,便可以履利给出证明 得 上接第32页) DA=(1.0,2),D=(1.1,0 BDC1为0比较法向量m与群的方向可知 法两个法向量方向相同,可知0为悦角 DC-(0,2,2),DB 为平面CBD的一个的余弦值为 应当引起足够的重视。切记在求出两个半平面 的法向量后一发要判断法向量的方向 每年的高考理科数学试题的主观题都有 Im n 系通过空间向量的方式解决求角的 多数是求线面角与二面角。这就要求我们一 正确解答:在上面的解答过程中,第一问要求好法向量,二要用好法向量,避开以上 的解答是设有的,问题就发生在第二问的 个例题所闸述的陷阱,最后正确套用适当的 公式,就能保证利解答 后,应当先判断法向量m与n的方向。如下