10 浅谈向量在求角问题中的应用-《中学生数理化》高二数学2021年2月刊

酸方片中學生表理化 浅谈同量在求角问题中的应用 ■重庆市铁路中学校何成宝 立体几何中涉及的角很多,线线角、线面 3,BC=1,PA=2,求直线AC与PB所 角、面面角等,它是立体几何中的一个难点 成角的余弦值 若用向量的方法解决此类问题,则解题思路 解析:建立如图3所示 简捷。本文就向量在求角问题中常用的一些的空间直角坐标系,则 方法举例说明,供同学们参考。 A(0,0,0),B(3,0,0) 一、求异面直线所成角(0°<0≤90°) C(3,1,0),D(0,1,0) 设a,b分别为异面直线a,b的方向向 P(0,0,2),从而AC 量,利用两向量夹角的余弦公式coOs0 (3,1,0),PB=(3,0, cosa,b)=a/b来求异面直线所成角。 例如图1,在五 设AC与PB的夹角为0,则cosb= 面体 ABCDEF中,FA⊥ AC|·|PB|2/7 平面ABCD,AD∥BC FE,AB⊥AD,M为EC 所以AC与PB所成角的余弦值为 的中点,AF=AB=BC= 图1 、求直线与平面所成角(0°≤0≤90°) FE=AD,求异面直线BF与DE所成的 设a是直线l的方向向量,n是平面a的 角的大小 法向量,直线L与平面a所成的角为θ,则 解析:如图2所示 sin 0= cos(a, n) 建立空间直角坐标系 点A为坐标原点 例2如图4,在三棱锥 设AB=1,依题意 P-ABC中,PA⊥底面ABC, B(1,0,0) AB,∠ABC=60°, C(1,1,0),D(0,2,0) 分别 E(0,1,1),F(0,0,1),M(,1 2,1,2),BF=在棱PB、PC上,且DE∥ (-1,0,1),DE=(0,-1,1) (1)求证:BC⊥平面PAC BF. DE 于是cos〈BF,DE (2)当D为PB的中点时,求AD与平 BFIIDE 面PAC所成角的余弦值 0+0+11 解析:如图5,以A为原点 建立空间直角坐标系A-xyz。 所以异面直线BF与DE所成的角的大 设PA=a,由已知可得 小为 点评:如果用传统的立体几何方法求BFA(0,0,0), 与DE所成角的余弦值,需用平移的方法来 a,0),P(0,0,a) 图5 找线线角,解三角形则是非常复杂的,而像这 样采用向量的方法求解则显得比较新颖直观 (1)因为AP=(0,0,a),BC 练习1:在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB 24,0,0),所以BC·AP=0,BC⊥AP 中学生数理化罡薮学经魏案 又因为∠BCA=90°,所以BC⊥AC。 I cos(n, BE 因此,BC⊥平面PAC。 In Be (2)因为D为PB的中点,DE∥BC,所 以E为PC的中点。 sin(n,, BE)s15 故BE与平面BB1D所成角的余弦值为 则 .E 又由(1)知,BC⊥平面PAC,则DE⊥平 面PAC,垂足为点E 练习3:正三棱柱ABC-A1B1C1的底面 ∠DAE是AD与平面PAC所成的角 边长是a,侧棱长是2a,求AC1与侧面 AD ABB1A1所成的角。 +-a E 解析:如图7,以点A为坐 .③a,1a),则c∠DAE=AA=标原点,直线AB,AA分别为 y轴,z轴,垂直平面ABB1A 且经过点A的线为x轴,建立 空间直角坐标系。则由题设条 故AD与平面PAC所成角的余弦值为件,可得相关点的坐标:A(0,图 0,0),B(0 点评:建立空间直角坐标系研究空间图 2a),所以 实际图形出 使点线的表示简化,运算简明快捷。选坐标C-(-③2,,园a)可取平面ABA 轴可充分利用所讨论的空间图形的已有直线 的法向量为n=(1,0,0),所以cos<AC1,n 的关系和性质,如垂直关系或对称性质等 练习2:已知正方体ABCD-A1B1C1D 中,E是CC1的中点,求BE与平面BB1D所 成角的余弦值 设AC1与平面ABB1A1所成的角为0,则 解析:如图6,建立空间 sin 0= cos(ACI, n>= 2°所以AC1与平 直角坐标系,并设正方体的 面ABB1A1所成角的大小为30 棱长为2,则D(0,0,0), 三、求两个平面的二面角(0°≤0≤180°) 在平面角为O的二面角aaB中,m,n E(0,2,1)。 分别为a,B的法向量,则0与〈m,n〉相等或 BE 图6 mnn =(-2,0,1),BB1=(0,0, 互补,cos0 Cosm, n m||n|° 例3如图8,在直 设平面BB1D的法向量为 四棱柱A1B1C1D1-AB z)。因为n⊥BD,n⊥BB,所以CD中,底面ABCD为等 n. BD 腰梯形,AB∥CD,AB 4. BC=CD=2,AA 图 2,E、E1、F分别是棱 解得 AD、AA1、AB的中点 则 (1)证明