03 题在书外 根在书中——圆锥曲线第三定义在教材和高考中的渗透-《中学生数理化》高二数学2021年2月刊

如中学生理化 存在且分别为 2k,一k2=2,当且仅 4k2≥4/h1k2-2,当且仅当|k 4k;,且kk=t,即k一1,k一或k 1,k=一时,等号成立 所以1k+4|k:的最小值为2 【式21原创)已知双曲线二一=1成 0,b>0),点A,B是双曲线上关于原点 的最小值为2 对称的两点,点M是双曲线上异于点A·B 的动点,直线MA.MB的斜率都存在且分别【变式4】(原创)已知双曲线 为k,k2,若|k1|+41k21的最小值为2,则双 曲线的离心率为 对称的两点,点M是双曲线上异于点A, 解析:由真题知,kk一,则1,1+的动点,直线MA,MB的斜率部存在且分别 4/打==,当且仅当为,,若时,一,的最小值为 ,则双曲线的离心率为 k=4k:|,且kk=一,即k 解析;由真题知,k:k 所以|+4|:的最小值为2,即 【变式3】原创)双曲线 0,b>0)的离心率为。,点A,B是双曲线上 关于原点对称的两点点M是双曲线上肿于当且仅当A,一A1一厘,且A,一 点A,B的动点,直线MA,MB的斜率都存 在且分别为如,k,若,≠,mA+的4=十厘 中苧生毂理 【規律揭秘】 0,也即乙+,)(x二 两点,点M是双曲线上异于A,B的动点,若2=2,一,“+-23,所以 双曲线 1(a>0,>0)的离心 率为e,点A,B是双曲线上关于原点对称的 直线MA,MB的斜率均存在,则 证明:根据对称性,可设A(x1,y1) B(-x+-y1),再设M《x+y 水有源,题有根,茫茫题海,寻根悟法方 2=1(x≠士,是岸。以上规律,貌似玄妙,实则早已蕴藏在 日常的教科书之中 教材背景1(人教A版高中数学逖修 2-1,P55探究):设点A,B的坐标为( ),(50),直线AM,BM相交于点M,且它 则 们的斜率之积是4,求点M的轨迹方程 教豺背景2(人教A版高中数学选修 2-1,P80A组第10题):已知△ABC的两个 顶点A.B的坐标分别是(-5.0),(5.0)·且 AC·BC所在直线的斜率之积等于(n≠ 推论】如果AB是双曲线。一分 0),试探求顶点C的轨迹 一般问题;设点A.B的坐标为(-a,0) (a>,b>0)的任意一条不过原点且与坐标(a,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜 线的离心率,M为AB的中点,则,之积是定值2(u>0b≥0,则点M的轨迹 -g-1(通常称之为“双曲线的中点 方程是什么?你能得出一个一 证明:《方法一)延长线段AO交双曲线0)连线的斜率乘积等于定值 的动点M的轨违是以AB为实轴的双曲线(除 由双曲线第三定义,得ks·bm=- 去左,右顶点)(通常称之为“双曲线第三定义”) 一般论:双曲线 去这两个端点外的任意一点M连线的解率 如中学生理化 之积为定值(常称之为“双曲线第三定文”,AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠ 0),试探求顶点C的轨连 以上植根于教科书的二级结论,通常称 般问题:设点A,B的坐标为(-a,0 之为双曲线的“第三定义 0),直线AM.BM相交于点M,且它们的 若延伸推广,即得前述“規律揭秘”及其 斜率之积是定值一,则点M的轨迹方程是 到椭圆的类似规律 什么?你能得出一个一般性的结论码? 【类比迁移】 般结论:与两个定点A(-a,0),B a>b>0)的离心率为0》连线的斜率乘积等于定值-(a>b>0) ,点A,B是椭园上关于原点对称的两点,点的动点M的轨迹是以AB为长轴的稍圆(并 M是椭圆上异于点A,B的动点,若直线除去左、右顶点)通常称之为”和圆第三定义”) MA,Mn的斜率均存在,则k+k= 一艘结论:椭圆+2=1(a>b>0)长 通常称之为“圆第三定义”) 轴AB的两个端点A,B与椭上除去这两 【推论1】若AB是椭圆+=1(a>b个弹点外的任意一点M连线的斜之积为 0)的任意一条不过原点且与坐标轴不垂直定负、42 的弦,O为椭圆的中心,为椭舞的离心率 若延伸推广,即辯前述“类比迁移”及其 推论“中更一般化的规律 M为AB的中点,则k·ko= 通靠称之为“椭圆中点弦斜率性质 教材是学习新知的源头,也是高考复习 描论2】平而直角坐标系中,一个动点必须回归的起点。同学们应深刻领悟“源于 M(x,y)与两个定点A(-“,0),B(a,0)连教材,活于教材”的命题思想,积极“溯源登 线的斜率之积为不等于0且不等于-1的常高”,既要回归教材、遍跸其在知识结构、编排 数m时,动点M的轨迹是椭圆或双曲线 体系方面存在的痕迹,挖掘母题、发现联系 当一1<m<0时,M的轨迹是中心在原又要在差异中感悟考题的生成过程,厘清从 点,焦点在x轴上的椭(除去左,右顶点) 深本题到“考试题“的变式发展脉络,以此 当m<-1时,M的轨迹是中心在原点,透视教材的基础性、把握高考的导向性,激活 焦点在y轴上