13 用样本估计总体的常见考点及处理策略（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年2月刊

■郭兴甫 用 样 本 估 计 总 体 是 高 中 数 学 的 重 要 内 容,也是高考命题的核心考 点。本 文 举 例 说 明用样本估计总体的常见考点及处理 策 略, 以期对同学们的学习有所帮助。 一、考查茎叶图的概念及应用 例1 为 了 调 查 甲、乙 两 个 网 站 受 欢 迎 的程度,随机选取了14天,统计上午8:00~ 10:00各 自 的 点 击 量,得 到 如 图1所 示 的 茎 叶图。根据茎叶图回答下列问题。 图1 (1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是 多少? (2)甲网站点击量在区间[10,40]的频率 是多少? (3)甲、乙两网站哪个更受欢迎? 请说明 理由。 解:(1)由茎叶图可知,甲 网 站 最 大 点 击 量为73,最小点击量为8,所以甲网站的点击 量的极差为73-8=65。乙网站最大点击量 为71,最小点击量为5,所以乙网站的点击量 的极差为71-5=66。 (2)由茎叶图可知,在[10,40]中,有4个 数据,即20,24,25,38,所 以 甲 网 站 在 区 间 [10,40]的频率为f= 4 14 ≈0.286。 (3)由茎叶图可知,甲网站的点击量集中 在茎叶图的下方,而乙网站的点击量集 中 在 茎叶图的上方,从数据的分布情况,可知甲网 站点击量大,更受欢迎。 评注:本题主要 考 查 茎 叶 图 的 概 念 及 应 用,根据茎叶图读取相应的数据是解答 本 题 的关键。 二、考查数字特征的计算及应用 例2 随着“互联网+交通”模式的迅猛 发展,“共 享 自 行 车”在 很 多 城 市 相 继 出 现。 某运营公司为了解某地区用户对其所提供服 务的满意度,随机调查了40个 用 户,得 到 用 户的满意度评分,如表1所示。 表1 用户编号评分 用户编号评分 用户编号评分 用户编号评分 1 78 2 73 3 81 4 92 5 95 6 85 7 79 8 84 9 63 10 86 11 88 12 86 13 95 14 76 15 97 16 78 17 88 18 82 19 76 20 89 21 79 22 83 23 72 24 74 25 91 26 66 27 80 28 83 29 74 30 82 31 93 32 78 33 75 34 81 35 84 36 77 37 81 38 76 39 85 40 89 用系统抽样从40个用户中抽取容量为 10的样本,且在第一段里随机抽到的评分数 据为92。 (1)请 你 列 出 抽 到 的10个 样 本 的 评 分 数据。 (2)计算所抽到的10个样本的均值x和 方差s2。 (3)在(2)的条件下,若用户的满意度评 分在(x-s,x+s)之间,则满意度等级为“A 级”。试应用样本估计总体的思想,估计该地 区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比 是多少。(精确到0.1%) 参考 数 据: 30≈5.48, 33≈5.74, 35≈5.92。 解:(1)由题意可知,利用 系 统 抽 样 分 别 抽取的编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36, 40,则对应的样本评分数据为92,84,86,78, 52 数学部分·经典题突破方法 高一使用 2021年2月 89,74,83,78,77,89。 (2)由(1)中的样本评分数据可得样本均 值为x= 1 10 (92+84+86+78+89+74+ 83+78+77+89)=83,方差为s2= 1 10 [(92- 83)2+(84-83)2+(86-83)2+(78-83)2+ (89-83)2+(74-83)2+(83-83)2+(78- 83)2+(77-83)2+(89-83)2]=33。 (3)由(2)可 知 评 分 在(83- 33,83+ 33)之 间 为“A 级”,即 在(77.26,88.74)之 间为“A 级”。由(1)可知容量为10的样本, 评分在(77.26,88.74)之间有5人,则该地区 满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约 为 5 10 ×100%=50%。 或者,由 题 意 可 知 评 分 在 (83- 33, 83+ 33)之 间 为 “A 级”,即 在 (77.26, 88.74)之间 为“A 级”。从 调 查 的40个 用 户 评分 数 据 中,在(77.26,88.74)之 间 共 有21 人,则该地区满意度等级为“A 级”的用户所 占的百分比约为 21 40 ×100%=52.5%。 评注:平均数与 方 差 都 是