05 剖析随机抽样问题中的常见题型（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年2月刊

■冀文娟 统 计 的 基 本 思 想 方 法 是 用 样 本 估 计 总 体,即用局部推断整体。抽样 调 查 带 有 随 机 性,不可能像普查那样精确,为了提高抽样调 查的准确性,使样本具有较强的代表性,在抽 样时必须讲究科学、合理的 方 法。下 面 从 四 个方面剖析随机抽样问题中的常见题型。 一、随机抽样方法辨析 例1 完 成 下 列 抽 样 调 查,较 为 合 理 的 抽样方法依次是( )。 ①从30件 产 品 中 抽 取3件 进 行 检 查; ②某校高中三个年级共有2460人,其中高一 830人、高二820人、高三810人,为了解学生 对数学的建议,拟抽取一个 容 量 为300的 样 本;③某剧场有28排,每排有32个座位,在一 次报告会中恰好坐满了听众,报告结束后,为 了解听众意见,需要请28名听众进行座谈。 A.简单随机抽样,系统抽样,分层抽样 B.分层抽样,系统抽样,简单随机抽样 C.系统抽样,简单随机抽样,分层抽样 D.简单随机抽样,分层抽样,系统抽样 解:对于①,从30件产品中抽取3件进 行检查,总 体 的 数 量 较 少,且 个 体 差 异 不 明 显,符合简单随机抽样的特点。对于②,该校 高中的三个年级,是差异明显的三个部分,符 合分 层 抽 样 的 特 点。对 于③,该 剧 场 有 28 排,每排有32个座位,显然总体数量较多,又 有编号,符合系统抽样的特点。应选D。 名师点睛:三种抽样方法的特点、联系及 适用范围,如表1所示。 表1 类别 共同点 各自特点 联系 适用范围 简单随 机抽样 系统 抽样 分层 抽样 ① 抽 样 过 程 中 每 个 个 体 被 抽 到 的 可 能 性 相 等; ②每 次 抽 出 个 体 后 不 再 将它 放 回,即 不放回抽样 从总体中逐个抽取 总体个数较少 将总 体 均 分 成 几 部 分,按 预 先 制 定 的 规 则在各部分中抽取 在 起 始 部 分 取 样时,采 用 简 单 随机抽样 总体个数较多 将总 体 分 成 几 层,分 层进行抽取 各层抽 样 时,采 用 简 单 随 机 抽 样或系统抽样 总 体 由 差 异 明 显 的 几 部 分 组 成 二、利用抽样确定样本个数 例2 学校高中部共有学生2000名,高 中部各年级男、女生人数如 表2所 示。已 知 在高中部学生中随机抽取1名学生,抽到高 三年级女生的概率是0.18,现用分层抽样的 方法在高中部抽取50名学生,则应在高二年 级抽取的学生人数为( )。 表2 高一年级 高二年级 高三年级 女生 373 y x 男生 327 z 340 A.14 B.15 C.16 D.17 解:由 题 意 可 知,高 三 女 生 人 数 x= 2000×0.18=360,故 高 三 年 级 共 有 学 生 360+340=700(人)。因 为 高 一 年 级 共 有 学 生373+327=700(人),所 以 高 二 年 级 共 有 学生2000-700-700=600(人)。设高二年 级应抽取的学生人数为n,由分层抽样 的 特 点可知,n 50 = 600 2000 ,解得n=15。应选B。 名师点睛:分层抽样是按比例抽样,每层 入样的个体数为该层的个体数乘以抽 样 比。 分层抽样的特点是按比例抽样,这个特 点 往 往用于 计 算 分 层 抽 样 中 各 层 抽 取 的 样 本 个 数。高考一般利用抽样比、总体个数、样本个 数,以及 每 层 所 抽 取 样 本 数 的 关 系“知 三 求 一,命制试题”。 三、多种抽样方法的综合应用 例3 某运动队由足球运动员18人,篮 球运动员12人,乒乓球运动员6人组成(每 人只参加一项),现从这些运动员中抽取一个 容量为n 的样本,若分别采用系统抽样和分 层抽样,都不用删除个体,那么样本容量n 的 最小值为( )。 A.6 B.12 C.18 D.24 解:由题意可知总体容量为36。当样本 8 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年2月 容量为n 时,系统抽样的间距为 36 n ,分层抽样 的抽样比为 n 36 ,则采用分层抽样抽取的足球 运动员人数为 n 36 ×18= n 2 ,篮球运动员人数 为 n 36 ×12= n 3 ,乒乓球运动员人数为n 36 ×6= n 6 。据此可知,n 是6的整数倍,n 的最小值 为6。应选 A。 名师点睛:本题 考 查 分 层 抽 样 和 系 统 抽 样的应用问题。解题时,从系 统 抽 样 和 分 层 抽样的特点考虑,系统抽样相当于等间 距 抽 样,分层抽样相当于按比例抽样。 四、抽样方法与频率分布直方图的交汇 例4 为 了 研 究 某 药 品 的 疗 效,选 取 若