02 线性回归方程要点导学（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年2月刊

■阮小云 常言道,纲 举 才 能 目 张。学 习 何 尝 不 是 如此? 只有抓住学习要点,方 可 达 到 事 半 功 倍的学习效果。那么,对于线 性 回 归 方 程 问 题,我们需掌握哪些学习要点呢? 一、知识要点 1.变量间常见关系 (1)函数关系:变量之间的关系可以用函 数表示,是一种确定性关系。 (2)相关关系:变量之间 有 一 定 的 联 系, 但不能完全用函数来表达。 2.回归直线方程 (1)线性相关关系:如果散点图中点的分 布从整体上看大致在一条直线附近,我 们 用 直线ŷ=bx+a 拟合散点图中的这些 点,像 这样能用直线方程ŷ=bx+a 近似表示的相 关关系叫作线性相关关系。 (2)线性回归方程:设有n 对观察数据, 如表1所示。 表1 x x1 x2 x3 … xn y y1 y2 y3 … yn 当a,b 使 Q=(y1-bx1-a)2+(y2- bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2 取得最小值 时,就称方程y=bx+a 为拟合这n 对数据 的线性回归方程,该方程所表示的直线 称 为 回归直线。 (3)利用回归直线进行数据拟合的 两 个 步骤:①作出散点图,判断散点是否在一条直 线附近。②如果散点在一条 直 线 附 近,用 系 数公式求出a,b 的值,写出线性回归方程。 3.对散点图的理解 散点图形象地体现了各对数据的密切程 度,因此可以根据散点图来判断两个变 量 有 没有线性关系。从散点图可 以 看 出,如 果 变 量之间存在某种关系,这些点会有一个 集 中 的大致趋势。 4.对线性回归方程的理解 线性回归方程中的截距和斜率都是通过 样本估计出来的,存在随机误差,这种误差可 能导致预测结果的偏差。即使截距和斜率的 估计没有误差,也不可能百分之百地保 证 对 应于x 的预测值能够与实际值y 很接近,也 不能保证点(x,y)落在回归直线上,甚至 不 能百分之百地保证它落在回归直线的附近。 二、重要题型 例1 下 列 关 系 中,属 于 相 关 关 系 的 序 号是 。 ①正 方 形 的 边 长 与 面 积 之 间 的 关 系; ②农作物的产量与施肥量之 间 的 关 系;③人 的身高与年龄之间的关系;④降雪量与交通 事故的发生率之间的关系。 解:①正方形的 边 长 与 面 积 之 间 的 关 系 是函数关系。②农作物的产量与施肥量之间 不具有 严 格 的 函 数 关 系,但 具 有 相 关 关 系。 ③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关 系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定 时期身高就不发生明显变化了,因而它 们 不 具有相关关系。④降雪量与交通事故的发生 率之间具有相关关系。答案②④。 例2 某种产品的广告费支出x(单位: 百万元)与销售额y(单位:百万元)之间有如 表2所示的对应数据。 表2 x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)画出散点图。 (2)求线性回归方程。 (3)预测当广告费支出为7百万元 时 的 销售额。 解:(1)画图略。 (2)从散点图可以发现,y 与x 具有线性相 关关系。由系数公式计算得线性回归方程为 ŷ=6.5x+17.5。 (3)当 x=7时,̂y=6.5×7+17.5=63 (百万元),即所求销售额约为6300万元。 作者单位:江西省赣州市教学研究室 (责任编辑 郭正华) 4 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年2月 $$