02 谈谈奇偶函数的应用（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■ 田 发 胜 孙 运 娜 一、函数的奇偶性 1.函 数 的 定 义 域 关 于 原 点对称 是 一 个 函 数 为 奇 偶 函 数的 前 提 条 件。判 断 一 个 函 数的奇偶性,首先看其定义域 是否关于原点对称,如果函数 的定义域不关于原点对称,则 一定是非奇非偶函数。 2.函 数 的 定 义 域 是 使 函 数有意 义 的 自 变 量 的 取 值 范 围,它可以是由一些孤立的点 构成的集合,甚至是单元素集 合,只 要 关 于 原 点 对 称,就 可 利用定义判断其奇偶性。 3.利 用 等 式 f(-x)= ±f(x)判断 奇 偶 性 是 最 基 本 的 方 法。对 于 比较复杂 的 函 数,特 别 是 不 易 看 出 f(x)与 f(-x)的 关 系 时,也 可 用 公 式 的 变 形 式 f(-x)±f(x)=0或者 f(-x) f(x) =±1来判 断函数的奇偶性。 二、奇偶函数的性质 1.若 f(x)是 奇 函 数,则 f(-x)= -f(x),当f(x)定义域包括0时,有f(0)= -f(0),即f(0)=0。若f(x)是偶函数,则 f(x )=f(x)恒成立。 2.奇 函 数 的 图 像 关 于 原 点 对 称,偶 函 数 的图像关于y 轴对称。这个性质反过来是不 成立的,即关于原点对称的图像不一定 对 应 于一个奇函数,关于y 轴对称的图像也不一 定对应于一个偶函数。 3.定义域关于原点对称的任何一个函数 都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和 的形式。如f(x)是一个定义域关于原点对 称 的 函 数,记 F (x)= f(x)+f(-x) 2 , G(x)= f(x)-f(-x) 2 ,易知F(x)是偶函数, G(x)是奇函数,显然f(x)=F(x)+G(x)。 三、奇偶函数在解题中的应用 1.判断函数的奇偶性。 例1 设函数f(x),g(x)的定义域都为 R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列 结论正确的是( )。 A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是奇函数 解:设 F(x)=f(x)· |g(x)|,则F(-x)=f(-x)· |g(-x)|。因 为 f(x)是 奇 函数,g(x)是 偶 函 数,所 以 F(-x)= -f(x)|g(x)|= -F(x),即 F(x)为 奇 函 数。 应选C。 2.利 用 奇 偶 函 数 的 性 质 解题。 例 2 若 函 数 f(x)= xln(x+ a+x2)为偶函数,则a= 。 解:由f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函 数,可得g(x)=ln(x+ a+x2)为奇函数, 其定义域包含0,所以g(0)=ln a=0,可得 lna=0,即a=1。 例3 设函数f(x)= (x+1)2+sinx x2+1 的 最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= 。 解:已知函数f(x)= (x+1)2+sinx x2+1 = x2+1+2x+sinx x2+1 =1+ 2x x2+1 + sinx x2+1 。令 g(x)= 2x x2+1 + sinx x2+1 ,则f(x)=g(x)+1。 因 为 g (x)为 奇 函 数,所 以 g (x)max + g(x)min=0。故 M +m=[g(x)max+1]+ [g(x)min+1]=g(x)max+g(x)min+2=2。 例4 设 x,y 为 实 数,且 满 足 关 系 式 (x-1)3+1997(x-1)=-1, (y-1)3+1997(y-1)=1,{ 则x+y= 。 解:令f(t)=t3+1997t,易 知 f(t)= t3+1997t 是奇函数,且在(-∞,+∞)上是 增函数。 由已知条件可得 f(x-1)=f(1-y), 所以x-1=1-y,即x+y=2。 作者单位:山东省淄博四中 (责任编辑 郭正华) 4 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年1月 $$