作业(二) 空间向量的应用(一)-2021新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

（２）因 为 →ＣＧ＝ １，０，（ ）１２ ． 所 以 →ＥＦ·→ＣＧ＝１ ２ ×１＋１ ２ ×０＋ －（ ）１２ ×１２＝１４， ｜ →ＥＦ｜＝ （ ）１２ ２ ＋（ ）１２ ２ ＋ －（ ）１２槡 ２ ＝槡３ ２ ， ｜ →ＣＧ｜＝ １２＋０２＋（ ）１２槡 ２ ＝槡５ ２ ． 所 以ｃｏｓ〈→ＥＦ，→ＣＧ〉＝ →ＥＦ·→ＣＧ ｜ →ＥＦ｜｜→ＣＧ｜ ＝ １ ４ 槡３ ２× 槡５ ２ ＝槡１５ １５ ． 所 以ＥＦ 与ＣＧ 所 成 角 的 余 弦 值 为 槡１５ １５ ． （３）因 为 →ＣＥ ＝ （０，－ １，１ ２ ），所 以 ｜ →ＣＥ｜ ＝ ０２＋（－１）２＋（ ）１２槡 ２ ＝槡５ ２ ． 【真 题 体 验】 Ｃ　以Ａ１ 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系（如 图），则Ａ（０，０， 槡３），Ｄ１（０，１，０），Ｄ（０，１，槡３），Ｂ１（１，０，０），所 以ＡＤ → １＝（０， １，－槡３），ＤＢ → １＝（１，－１，－槡３），所 以 ｃｏｓ〈ＡＤ → １，ＤＢ → １〉＝ ＡＤ→ １·ＤＢ→ １ ｜ＡＤ → １｜·｜ →ＤＢ１｜ ＝０×１＋１× （－１）＋（－槡３）×（－槡３） 槡２× ５ ＝ 槡５ ５ ．故 选 Ｃ． 作 业（二）　空 间 向 量 的 应 用（一） 【基 础 小 练】 １．Ａ　 →ＡＢ＝（－２，－２，２），→ＣＤ＝（１，１，－１） 所 以 →ＡＢ＝－２ →ＣＤ，故ＡＢ 与ＣＤ 平 行． ２Ｂ　因 为ａ＝（ １ ２ ，０，１），ｂ＝（－１，０，－２），所 以ｂ＝－２ａ， 所 以ａ∥ｂ，所 以ｌ⊥β． ３Ｂ　因 为α∥β，所 以α与β 的 法 向 量 也 互 相 平 行． 所 以 ２ ４ ＝３ λ ＝－１ －２ ．所 以λ＝６． ４Ａ　由题知Ａ（１，０，０），Ｂ（０，１，０），Ｐ（０，０，２）．则 →ＡＢ＝（－１， １，０）．→ＡＰ＝（－１，０，２），设ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）为 平 面 ＰＡＢ 的 法 向 量，则 ｎ· →ＡＢ＝０， ｎ· →ＡＰ＝０｛ ， 即 －ｘ＋ｙ＝０， －ｘ＋２ｚ＝０｛ ，令ｘ＝１，得ｙ＝１，ｚ＝１２，所 以ｎ＝（１，１， １ ２ ）为 平 面ＰＡＢ 的 一 个 法 向 量． 【知 识 整 合】 １．｛Ｐ｜ａ· →ＡＰ＝０｝ ２（１）λ∈Ｒ，使 得ｕ１＝λｕ２　（２）ｕ１·ｕ２＝０ ３（１）ｕ·ｎ＝０　（２）λ∈Ｒ，使 得ｕ＝λｎ ４（１）λ∈Ｒ，使 得ｎ１＝λｎ２　（２）ｎ１·ｎ２＝０ 【知 能 演 练】 一、 １．ＡＢＣ　由 空 间 向 量 的 坐 标 运 算 得 Ａ，Ｂ，Ｃ正 确． ２Ｂ　因 为α⊥β，则 它 们 的 法 向 量 也 互 相 垂 直，所 以ａ·ｂ＝ （－１，２，４）·（ｘ，－１，－２）＝０，解 得ｘ＝－１０． ３Ｂ　 设 平 面 ＡＢＣ 的 法 向 量 为 ｎ ＝ （ｘ，ｙ，ｚ），则 有 ２ｘ＋２ｙ＋ｚ＝０， ４ｘ＋５ｙ＋３ｚ＝０｛ ．取ｘ＝１，则ｙ＝－２，ｚ＝２．所 以ｎ＝（１， －２，２）是 平 面ＡＢＣ 的 一 个 法 向 量． 因 为｜ｎ｜＝３，所 以 平 面 ＡＢＣ 的 一 个 单 位 法 向 量 可 以 是 － １ ３ ，２ ３ ，－（ ）２３ ． ４．ＡＢ　设 平 面α内 一 点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ），则 →ＭＰ＝（ｘ－１，ｙ＋１，ｚ －２）．因 为ｎ＝（６，－３，６）是 平 面 的 法 向 量，所 以ｎ⊥ →ＭＰ， ｎ· →ＭＰ＝６（ｘ－１）－３（ｙ＋１）＋６（ｚ－２）＝６ｘ－３ｙ＋６ｚ－ ２１．所 以 由ｎ· →ＭＰ＝０得６ｘ－３ｙ＋６ｚ－２１＝０．把 各 选 项 代 入 上 式 可 知 Ａ，Ｂ适 合． ５．Ｂ　由 →ＡＢ·→ＢＣ＝０得３＋５－２ｚ＝０， 所 以ｚ＝４．又 →ＢＰ⊥平 面ＡＢＣ， 所 以 →ＢＰ· →ＡＢ＝０， →ＢＰ·→ＢＣ＝０｛ ，即 ｘ－１＋５ｙ＋６＝０，３ｘ－３＋ｙ－１２＝０｛ ， 解 得 ｘ＝４０７ ， ｙ＝－ １５ ７ 烅 烄 烆 ． ６．Ｂ　分 别 以 ＡＢ，ＡＤ，ＡＰ 所 在 直 线 为ｘ 轴、ｙ 轴、ｚ 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设｜ＡＰ｜＝ｂ，正 方 形 边 长 为１．｜ＡＦ｜＝ａ． 则Ｂ（１，０，０），Ｆ（０，ａ，０），Ｐ（０，０，ｂ），Ｅ １ ２ ，１，（ ）０ ，所 以 →ＢＦ ＝（－１，ａ，０），→ＰＥ＝ １ ２ ，１，－（ ）ｂ ，由ＢＦ⊥ＰＥ，知 →ＢＦ· →ＰＥ ＝－１×１ ２ ＋ａ＝０，所 以ａ＝１ ２ ． 所 以Ｆ 为ＡＤ 中 点，故ＡＦ∶ＦＤ＝１∶１． ７．解 析