作业(三) 空间向量的应用(二)-2021新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

高 二 数 学 而ＥＧ 平 面 ＥＤＢ 且 ＰＡ  平 面 ＥＤＢ，所 以 ＰＡ∥ 平 面ＥＤＢ． （２）依 题 意 得 Ｂ（ａ，ａ，０），→ＰＢ＝ （ａ，ａ，－ａ），又 →ＤＥ ＝ ０， ａ ２ ，ａ（ ）２ ， 故 →ＰＢ· →ＤＥ＝０＋ａ ２ ２ －ａ ２ ２ ＝０，所 以ＰＢ⊥ＤＥ． 由 已 知ＥＦ⊥ＰＢ，且ＥＦ∩ＤＥ＝Ｅ，所 以ＰＢ⊥平 面ＥＦＤ。 １０．解　（１）证 明：以Ａ 为 原 点， →ＡＢ， →ＡＤ，ＡＡ→ １的 方 向 分 别 为ｘ 轴、ｙ 轴、ｚ轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示． 设ＡＢ＝ａ，则Ａ（０，０，０），Ｄ（０，１， ０），Ｄ１（０，１，１），Ｅ ａ ２ ，１，（ ）０ ，Ｂ１ （ａ，０，１）．故ＡＤ→ １·Ｂ１→Ｅ＝－ ａ ２ ×０＋１×１＋（－１）×１＝ ０，所 以Ｂ１Ｅ⊥ＡＤ１． （２）假 设 在 棱ＡＡ１ 上 存 在 一 点Ｐ（０，０，ｚ０）． 使 得ＤＰ∥平 面Ｂ１ＡＥ，此 时 →ＤＰ＝（０，－１，ｚ０）． 又 设 平 面Ｂ１ＡＥ 的 法 向 量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）． 因 为ｎ⊥平 面Ｂ１ＡＥ， 所 以ｎ⊥ＡＢ → １，ｎ⊥ →ＡＥ，得 ａｘ＋ｚ＝０， ａｘ ２＋ｙ＝ 烅 烄 烆 ０ 取ｘ＝１，得 平 面Ｂ１ＡＥ 的 一 个 法 向 量ｎ＝ １，－ ａ ２ ，－（ ）ａ 要 使ＤＰ∥平 面Ｂ１ＡＥ，只 要ｎ⊥ →ＤＰ，有ａ ２ －ａｚ０＝０， 解 得ｚ０＝ １ ２ ．又 ＤＰ平 面 Ｂ１ＡＥ，所 以 存 在 点 Ｐ，满 足 ＤＰ／／平 面Ｂ１ＡＥ，此 时ＡＰ＝ １ ２ ． 【真 题 体 验】 解　依 题 意，以Ｃ 为 原 点，分 别 以 →ＣＡ，→ＣＢ，ＣＣ→ １的 方 向 为ｘ 轴、ｙ轴、ｚ轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系（如 图），可 得 Ｃ（０，０，０），Ａ（２，０，０），Ｂ（０，２，０），Ｃ１（０，０，３），Ａ１（２，０，３）， Ｂ１（０，２，３），Ｄ（２，０，１），Ｅ（０，０，２），Ｍ（１，１，３）． （１）证 明：依 题 意，Ｃ１ →Ｍ＝（１，１，０），Ｂ１ →Ｄ＝（２，－２，－２），从 而Ｃ１ →Ｍ·Ｂ１ →Ｄ＝２－２＋０＝０，所 以Ｃ１Ｍ⊥Ｂ１Ｄ． （２）依 题 意，→ＣＡ＝（２，０，０）是 平 面 ＢＢ１Ｅ 的 一 个 法 向 量，ＥＢ → １＝（０，２， １），→ＥＤ＝（２，０，－１）． 设ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）为 平 面 ＤＢ１Ｅ 的 法 向 量，则 ｎ·ＥＢ→ １＝０， ｎ· →ＥＤ＝０｛ ，即 ２ｙ＋ｚ＝０，２ｘ－ｚ＝０｛ ． 不 妨 设ｘ＝１，可 得 平 面ＤＢ１Ｅ 的 一 个 法 向 量 为ｎ＝（１，－１，２）． 因 此 有ｃｏｓ〈→ＣＡ，ｎ〉＝ →ＣＡ·ｎ ｜ →ＣＡ｜｜ｎ｜ ＝槡６ ６ ， 于 是ｓｉｎ〈→ＣＡ，ｎ〉＝槡３０ ６ ． 所 以 二 面 角ＢＢ１ＥＤ 的 正 弦 值 为 槡３０ ６ ． （３）依 题 意， →ＡＢ＝（－２，２，０）． 由（２）知ｎ＝（１，－１，２）为 平 面ＤＢ１Ｅ 的 一 个 法 向 量， 于 是ｃｏｓ〈 →ＡＢ，ｎ〉＝ →ＡＢ·ｎ ｜ →ＡＢ｜｜ｎ｜ ＝－槡３ ３ ． 所 以 直 线ＡＢ 与 平 面ＤＢ１Ｅ 所 成 角 的 正 弦 值 为 槡３ ３ ． 作 业（三）　空 间 向 量 的 应 用（二） 【基 础 小 练】 １Ａ　设ｌ与α 所 成 的 角 为θ 且θ∈［０，９０°］，则 ｓｉｎθ＝ ｜ｃｏｓ〈ｍ，ｎ〉｜＝ １ ２ ．所 以θ＝３０°． ２Ｄ　设 正 方 体 的 棱 长 为１，建 系 如 图．则Ｄ（０，０，０），Ｂ（１，１， ０），Ｂ１（１，１，１）． 平 面ＡＣＤ１ 的 一 个 法 向 量 为ＤＢ → １＝ （１，１，１）． 又ＢＢ→ １ ＝（０，０，１）则 ｃｏｓ〈ＤＢ→ １ · ＢＢ→ １ 〉＝ ＤＢ→ １·ＢＢ→ １ ｜ＤＢ → １｜｜ＢＢ → １｜ ＝ １ 槡３×１ ＝槡３ ３ ． 故ＢＢ１ 与 平 面ＡＣＤ１ 所 成 角 的 余 弦 值 为 １－ 槡３（ ）３槡 ２ ＝槡６ ３ ． ３Ａ　 →ＰＡ＝（－２，０，－１），｜→ＰＡ｜＝槡５，｜ →ＰＡ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ＝槡２ ２ ，则 点 Ｐ 到 直 线ｌ 的 距 离ｄ＝ ｜ →ＰＡ｜２－ →ＰＡ·ｎ ｜ｎ｜槡 ２ ＝ ５－槡 １２ ＝ 槡３ ２ ２ ． ４ 解 析　如 图，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，由 已 知 得Ａ１（４，０，０），Ｂ（４，４，３），Ｂ１（４， ４，０），Ｃ（０，４，３），