作业(八) 双曲线-2021新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

＝１ ２｜ ＯＦ１｜｜ｙ１｜＋ １ ２｜ ＯＦ１｜｜ｙ２｜ ＝１ ２｜ ＯＦ１｜（｜ｙ１｜＋｜ｙ２｜） ＝１ ２｜ ＯＦ１｜｜ｙ１－ｙ２｜ ＝１ ２ ×３×｜ｙ１－ｙ２｜． 又｜ｙ１－ｙ２｜≤２ｂ＝８，所 以Ｓ△Ｆ１ＡＢ≤ ３ ２ ×８＝１２． ４．Ｂ　由 题 意 知ａ＝５，所 以｜ＡＦ１｜＝１０－｜Ｆ２Ａ｜，｜ＢＦ１｜＝１０ －｜Ｆ２Ｂ｜， 所 以｜ＡＢ｜＝｜ＡＦ１｜＋｜ＢＦ１｜＝２０－（｜Ｆ２Ａ｜＋｜Ｆ２Ｂ｜）＝ ２０－１２＝８． ５．ＡＣＤ　由 已 知 得２ｂ＝２，ｂ＝１， ｃ ａ ＝ 槡６ ３ ，又ａ２＝ｂ２＋ｃ２ 解 得ａ２＝３．所 以 椭 圆 方 程 为ｘ２＋ｙ ２ ３ ＝１，又｜ＰＱ｜＝ ２ｂ２ ａ ＝ ２ 槡３ ＝ 槡２ ３ ３ ． 所 以△ＰＦ２Ｑ 的 周 长 为４ａ＝ 槡４ ３． ６．Ａ　由△ＭＦ１Ｆ２ 的 内 切 圆 的 周 长 为３π得，内 切 圆 的 半 径 ｒ＝３ ２ ，所 以△ＭＦ１Ｆ２ 的 面 积 为 １ ２ （｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ２｜＋ ｜Ｆ１Ｆ２｜）ｒ＝ １ ２｜ Ｆ１Ｆ２｜·｜ｙＭ｜，即（１０＋６）· ３ ２ ＝６｜ｙＭ｜，得 ｜ｙＭ｜＝４，所 以 满 足 条 件 的 点 Ｍ 是 短 轴 的２个 端 点． ７．解 析　因 为ｘ＝１是 圆ｘ２＋ｙ ２＝１的 一 条 切 线． 所 以 椭 圆 的 右 焦 点 为（１，０），即ｃ＝１． 设Ｐ １，（ ）１２ ，则ｋＯＰ＝１２，因 为ＯＰ⊥ＡＢ，所 以ｋＡＢ＝－２， 则 直 线ＡＢ 的 方 程 为ｙ＝－２（ｘ－１），它 与ｙ 轴 的 交 点 为 （０，２）． 所 以ｂ＝２，ａ２＝ｂ２＋ｃ２＝５，故 椭 圆 的 方 程 为ｘ ２ ５ ＋ｙ ２ ４ ＝１． 答 案　 ｘ２ ５ ＋ｙ ２ ４ ＝１ ８．解 析　因 为｜Ｆ１Ｆ２｜＝８，所 以ｃ＝４，即ａ ２－９＝１６，所 以ａ２ ＝２５， 又｜ＡＦ１｜＋｜ＡＦ２｜＝｜ＢＦ１｜＋｜ＢＦ２｜＝２ａ＝１０． 所 以△ＡＢＦ２ 的 周 长 为４ａ＝２０． 答 案　２０ ９．解　椭 圆 方 程 可 化 为 ｘ２ ｍ＋ ｙ２ ｍ ｍ＋３ ＝１， 因 为ｍ－ ｍｍ＋３＝ ｍ２＋２ｍ ｍ＋３ ＞０ ，所 以ｍ＞ ｍ ｍ＋３ ， 即ａ２＝ｍ，ｂ２＝ ｍｍ＋３ ，ｃ＝ ａ２－ｂ槡 ２＝ ｍ２＋２ｍ ｍ＋槡 ３ ． 由ｅ＝槡３ ２ 得， ｍ＋２ ｍ＋槡 ３＝槡３２，所 以ｍ＝１． 所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为ｘ２＋ｙ ２ １ ４ ＝１， 所 以ａ＝１，ｂ＝１ ２ ，ｃ＝槡３ ２ ， 所 以 椭 圆 的 长 轴 长 为２，短 轴 长 为１； 两 焦 点 坐 标 分 别 为 －槡３２ ，（ ）０ ，槡３２，（ ）０ ； 四 个 顶 点 坐 标 分 别 为 （－１，０），（１，０），０，－（ ）１２ ，０，（ ）１２ ． １０．解　（１）由 ２ａ＝｜ＥＦ１｜＋｜ＥＦ２｜＝４， ａ２＝ｂ２＋ｃ２， ｃ＝１ 烅 烄 烆 ， 解 得 ａ＝２， ｃ＝１，ｂ＝槡３｛ ，所 以 椭 圆Ｃ 的 方 程 为 ｘ２ ４ ＋ｙ ２ ３ ＝１． （２）由 题 意 和 直 线ｌ的 方 程 为ｙ＝ｋ（ｘ＋１）（ｋ＞０）， 联 立 ｙ＝ｋ（ｘ＋１）， ｘ２ ４＋ ｙ ２ ３＝１ 烅 烄 烆 ， 整 理 得 ３ ｋ２ ＋（ ）４ｙ２－６ｋｙ－９＝０， Δ＝ １４４ ｋ２ ＋１４４＞０，设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 则ｙ１＋ｙ２＝ ６ｋ ３＋４ｋ２ ，ｙ１ｙ２＝ －９ｋ２ ３＋４ｋ２ ， 又ＡＦ→ １＝２Ｆ１→Ｂ，所 以ｙ１＝－２ｙ２， 所 以ｙ１ｙ２＝－２（ｙ１＋ｙ２） ２，则３＋４ｋ２＝８， 解 得ｋ＝±槡５ ２ ，又ｋ＞０，所 以ｋ＝槡５２． 【真 题 体 验】 １．解 析　设Ｆ１ 为 椭 圆 的 左 焦 点，分 析 可 知 点 Ｍ 在 以Ｆ１ 为 圆 心，焦 距 为 半 径 的 圆 上，即 在 圆（ｘ＋４）２＋ｙ ２＝６４上． 因 为 点 Ｍ 在 椭 圆ｘ ２ ３６ ＋ｙ ２ ２０ ＝１上， 所 以 联 立 方 程 可 得 （ｘ＋４）２＋ｙ ２＝６４， ｘ２ ３６＋ ｙ ２ ２０＝１ 烅 烄 烆 ， 解 得 ｘ＝３， ｙ＝±槡１５｛ ． 又 因 为 点 Ｍ 在 第 一 象 限，所 以 点 Ｍ 的 坐 标 为（３，槡１５）． 答 案　（３，槡１５） ２．解　（１）由 椭 圆 过 点Ａ（－２，－１），得 ４ ａ２ ＋１ ｂ２ ＝１． 又ａ＝２ｂ，所 以 ４ ４ｂ２ ＋１ ｂ２ ＝１，解 得ｂ２＝２， 所 以ａ２＝４ｂ２＝８，所 以 椭 圆Ｃ 的 方 程 为ｘ ２ ８ ＋ｙ ２ ２ ＝１． （２）当 直 线ｌ的 斜 率 不 存 在 时，显 然 不 合 题 意． 设 直 线ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ＋４）， 由 ｙ＝ｋ （ｘ＋４）， ｘ２＋４ｙ