作业(十二) 等比数列-2021新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

３ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ　ａｎ＝ａｍ＋（ｎ－ｍ）ｄ ４．（１） ｎ（ａ１＋ａｎ） ２ 　 （２）ｎａ１＋ ｎ（ｎ－１） ２ ｄ　（３）Ａｎ２＋Ｂｎ ５．（１）ａｐ＋ａｑ ６．（１）ａｎ－ａｎ－１＝ｄ（ｎ≥２）　ａｎ＋１－ａｎ＝ｄ （２）２ａｎ＝ａｎ－１＋ａｎ＋１（ｎ≥２） （３）ａｎ＝ａｎ＋ｂ 【知 能 演 练】 １．Ｂ　由｛ａｎ｝是 等 差 数 列，得Ｓ３，Ｓ６－Ｓ３，Ｓ９－Ｓ６ 为 等 差 数 列 所 以２（Ｓ６－Ｓ３）＝Ｓ３＋（Ｓ９－Ｓ６） 所 以Ｓ９－Ｓ６＝２Ｓ６－３Ｓ３＝４５．故 选 Ｂ． ２ＡＣ　因 为 ａ４＋ａ５＝２ａ１＋７ｄ＝２４， Ｓ６＝６ａ１＋１５ｄ＝４８｛ ， 所 以 ａ１＝－２ ， ｄ＝４｛ ． ３Ｄ　由 题 意 可 得ａ１＝ １ ２５ ，且 ａ１０＞１ ， ａ９≤１｛ ， 根 据 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 得 １ ２５＋９ｄ＞１ ， １ ２５＋８ｄ≤１ 烅 烄 烆 ， 从 而 解 得 ８ ７５＜ ｄ≤ ３ ２５ ，故 选 Ｄ． ４．Ａ　设 首 项 为ａ１，公 差 为ｄ． 由Ｓ４＝０，ａ５＝５可 得 ａ１＋４ｄ＝５， ４ａ１＋６ｄ＝０｛ ，解 得 ａ１＝－３ ， ｄ＝２｛ ． 所 以ａｎ＝－３＋２（ｎ－１）＝２ｎ－５， Ｓｎ＝ｎ×（－３）＋ ｎ（ｎ－１） ２ ×２＝ｎ２－４ｎ． ５．Ａ　设 等 差 数 列｛ａｎ｝的 首 项 为ａ１，公 差 为ｄ． 由ａ５＝５，Ｓ５＝１５， 得 ａ１＋４ｄ＝５， ５ａ１＋ ５×（５－１） ２ ｄ＝１５ 烅 烄 烆 ， 解 得 ａ１＝１， ｄ＝１｛ ， 所 以ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ＝ｎ． 所 以 １ ａｎａｎ＋１ ＝ １ｎ（ｎ＋１）＝ １ ｎ － １ ｎ＋１ ，所 以 数 列｛ １ ａｎａｎ＋１ ｝的 前１００项 和 为１－１ ２ ＋１ ２ －１ ３ ＋…＋ １ １００ － １ １０１ ＝１－ １ １０１ ＝１００ １０１ ． ６．ＢＣ　由Ｓ７＝ ７（ａ１＋ａ７） ２ ＝７ａ４＝ａ４ 得ａ４＝０， 所 以ａ３＋ａ５＝２ａ４＝０，Ｓ３＝Ｓ４． ７．解 析　由－２ｎ＋１５≥０，得ｎ≤ １５ ２ ，又ｎ∈Ｎ， 所 以 当１≤ｎ≤７时，ａｎ≥０；当ｎ≥８时，ａｎ＜０， 所 以 前ｎ项 和Ｓｎ 取 得 最 大 值 时ｎ＝７． 答 案　７ ８．解 析　由ａ１≠０，ａ２＝３ａ１，可 得ｄ＝２ａ１， 所 以Ｓ１０＝１０ａ１＋ １０×９ ２ ｄ＝１００ａ１， Ｓ５＝５ａ１＋ ５×４ ２ ｄ＝２５ａ１，所 以 Ｓ１０ Ｓ５ ＝４． 答 案　４ ９．解　（１）因 为ａ２＝１，ａ５＝－５，所 以ｄ＝ ａ５－ａ２ ３ ＝－５－１ ３ ＝ －２． 所 以ａｎ＝ａ２＋（ｎ－２）ｄ＝１－２（ｎ－２）＝－２ｎ＋５． （２）因 为Ｓｎ＝ｎａ１＋ ｎ（ｎ－１） ２ ｄ＝３ｎ－ｎ（ｎ－１） ＝－ｎ２＋４ｎ＝－（ｎ－２）２＋４， 所 以 当ｎ＝２时，Ｓｎ 最 大 且 最 大 值 为４． １０．解　（１）依 题 意 得， Ｓｎ ｎ ＝３ｎ－２ ， 即Ｓｎ＝３ｎ ２－２ｎ． 当ｎ≥２时， ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝（３ｎ ２－２ｎ）－［３（ｎ－１）２－２（ｎ－１）］＝６ｎ －５； 当ｎ＝１时，ａ１＝Ｓ１＝３×１ ２－２×１＝６×１－５适 合， 所 以ａｎ＝６ｎ－５（ｎ∈Ｎ ）． （２）由（１）得ｂｎ＝ ３ ａｎａｎ＋１ ＝ ３（６ｎ－５）［６（ｎ＋１）－５］ ＝１ ２ １ ６ｎ－５－ １ ６ｎ＋（ ）１ ， 故Ｔｎ＝ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ ＝１ ２ １－（ ）１７ ＋ １７－１（ ）１３ ＋…＋ １６ｎ－５－ １６ｎ＋（ ）［ ］１ ＝１ ２ １－ １ ６ｎ＋（ ）１ ． 因 此，使 得 １ ２ １－ １ ６ｎ＋（ ）１ ＜ｍ２０（ｎ∈Ｎ）成 立 的 ｍ 必 须 满 足 １ ２≤ ｍ ２０ ，即ｍ≥１０，故 满 足 要 求 的 最 小 整 数ｍ 为１０． 【真 题 体 验】 １．解 析　数 列｛２ｎ－１｝的 各 项 为１，３，５，７，９，１１，１３，…；数 列 ｛３ｎ－２｝的 各 项 为１，４，７，１０，１３，…．现 观 察 归 纳 可 知，两 个 数 列 的 公 共 项 为１，７，１３，…，是 首 项 为１，公 差 为６的 等 差 数 列，则ａｎ＝１＋６（ｎ－１）＝６ｎ－５． 故 前ｎ项 和 为Ｓｎ＝ ｎ（ａ１＋ａｎ） ２ ＝ｎ （１＋６ｎ－５） ２ ＝３ｎ２－２ｎ． ２．解　（１）设｛ａｎ｝的 公 差 为ｄ．由Ｓ９＝－ａ５ 得ａ５＝０，即ａ１＋ ４ｄ＝０． 由ａ３＝４得ａ１＋２ｄ＝４． 于 是ａ１＝８，ｄ＝－２． 因 此｛ａｎ｝的 通 项 公 式 为ａｎ＝１０－２ｎ． （２）由（１）得ａ１＝－４ｄ，故ａｎ＝（ｎ－５）ｄ，Ｓｎ＝ ｎ（ｎ－９）ｄ ２ ． 由ａ１＞０知ｄ＜０，故Ｓｎ≥ａｎ 等