作业(十四) 函数的单调性与导数-2021新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

作 业（十 三）　导 数 及 其 几 何 意 义 【基 础 小 练】 １Ａ　利 用 函 数ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０ 处 导 数 的 特 定 结 构 形 式，所 以 Ａ 是 正 确 的． ２Ｃ　ｙ′＝ （ｃｏｓｘ）′ｘ－ｃｏｓｘ ｘ２ ＝－ｘｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ ｘ２ ． ３Ｂ　因 为ｙ′＝－ １ ｘ２ ，令 切 点 坐 标 为（ｘ０，ｙ０）， 所 以－ １ ｘ０ ２＝－４，所 以ｘ０＝± １ ２ ，所 以ｙ０＝±２，故 选 Ｂ． ４．Ａ　由 切 线 方 程 可 以 看 出 其 斜 率 是２，又 曲 线 在 该 点 处 的 切 线 的 斜 率 就 是 函 数 在 该 点 处 的 导 数 【知 识 整 合】 １．（１）数 值　变 量　（２）导 数　（３）导 函 数 值 ３（１）０　（２）αｘα－１　（３）ｃｏｓｘ　（４）－ｓｉｎｘ　（５）ａｘｌｎａ　（６） ｅｘ　（７） １ ｘｌｎａ　 （８）１ｘ ４（１）ｆ′（ｘ）±ｇ′（ｘ）　（２）ｃｆ′（ｘ）　（３）ｆ′（ｘ）·ｇ（ｘ）＋ ｆ（ｘ）·ｇ′（ｘ）　（４）ｆ ′（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）·ｇ′（ｘ） ｇ ２（ｘ） 【知 能 演 练】 １．Ｂ　因 为 ｘ＋ １（ ）ｘ ′＝１－ １ｘ２，所 以 选 项 Ａ 不 正 确；因 为 （ｌｏｇ２ｘ）′＝ １ ｘｌｎ２ ，所 以 选 项 Ｂ正 确；因 为（３ｘ）′＝３ｘｌｎ３，所 以 选 项 Ｃ不 正 确；因 为（ｘ２ｃｏｓｘ）′＝２ｘｃｏｓｘ－ｘ２ｓｉｎｘ，所 以 选 项 Ｄ不 正 确． ２Ｄ　ｆ′（ｘ）＝６ｘ＋２ｆ′（２）， 将ｘ＝２代 入 得ｆ′（２）＝１２＋２ｆ′（２），即ｆ′（２）＝－１２， 故ｆ′（ｘ）＝６ｘ－２４，所 以ｆ′（５）＝６． ３ＡＢ　切 线 的 斜 率ｋ＝ｔａｎ ３ ４ π ＝－１，设 切 点 为（ｘ０，ｙ０）， 则ｆ′（ｘ０）＝－１， 又ｆ′（ｘ）＝－ １ ｘ２ ，所 以 － １ ｘ０ ２＝－１，所 以ｘ０＝１或ｘ０＝ －１，所 以 切 点 坐 标 为（１，１）或（－１，－１）．故 选 Ａ，Ｂ． ４．Ｃ　ｙ＝ｌｎｘ 的 定 义 域 为（０，＋∞），且ｙ′＝ １ ｘ ，设 切 点 为 （ｘ０，ｌｎｘ０），则ｙ′｜ｘ＝ｘ ０ ＝１ｘ０ ，切 线 方 程 为ｙ－ｌｎｘ０＝ １ ｘ０ （ｘ－ ｘ０）．因为切线过点（０，０），所以－ｌｎｘ０＝－１，解得ｘ０＝ｅ，故此 切线的斜率为１ ｅ ． ５．Ｄ　由于ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ２ ２ｘ＋ π（ ）３ ＝ １－ｃｏｓ４ｘ＋２π（ ）３ ２ ＝１ ２ －１ ２ ｃｏｓ４ｘ＋２π（ ）３ ， 所以ｆ′（ｘ）＝４× １ ２ ｓｉｎ４ｘ＋２π（ ）３ ＝２ｓｉｎ４ｘ＋２π（ ）３ ，故选Ｄ． ６．Ｄ　当ｘ＝１时，ｙ＝ １ １－２ ＋２＝１．因为ｙ′＝－ ２ （ｘ－２）２ ，所以 ｙ′｜ｘ＝１＝－ ２ （１－２）２ ＝－２，则 所 求 的 切 线 方 程 为ｙ－１＝ －２（ｘ－１），即ｙ＝－２ｘ＋３． ７．解 析　因 为ｙ′＝２ａｘ，直 线 斜 率 为１，所 以ｙ′＝２ａｘ＝１，ｘ ＝１ ２ａ ， 所 以 切 点 坐 标 为 １ ２ａ ，１ ４（ ）ａ ，代 入ｘ－ｙ－１＝０得 １４ａ＝１，ａ ＝１ ４ ． 答 案　 １ ４ ８．解 析　令ｆ（ｘ）＝ｘｌｎｘ，则ｆ′（ｘ）＝ｌｎｘ＋１．设Ｐ 点 坐 标 为 （ｘ０，ｙ０），则ｆ′（ｘ０）＝ｌｎｘ０＋１＝２，所 以ｘ０＝ｅ，此 时ｙ０＝ ｘ０ｌｎｘ０＝ｅｌｎｅ＝ｅ， 所 以 点Ｐ 的 坐 标 为（ｅ，ｅ）． 答 案　（ｅ，ｅ） ９．解　因 为ｆ（－１）＝０， 所 以－１＋ａ－ｂ＋ｃ＝０． ① 又 因 为ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋２ａｘ＋ｂ，ｆ（ｘ）的 图 象 在 点（１，ｆ（１）） 处 的 切 线 方 程 为ｙ＝ｇ（ｘ）， 所 以ｆ（１）＝ｇ（１）＝１２×１－４＝８， 且ｆ′（１）＝１２， 即 ａ＋ｂ＋ｃ＝７， ２ａ＋ｂ＝９｛ ， ②③ 联 立 方 程①②③得ａ＝３，ｂ＝３，ｃ＝１． １０．解　（１）因 为ｙ′＝ｘ２， 所 以 在 点Ｐ（２，４）处 的 切 线 的 斜 率ｋ＝ｙ′｜ｘ＝２＝４． 所 以 曲 线 在 点Ｐ（２，４）处 的 切 线 方 程 为ｙ－４＝４（ｘ－２）， 即４ｘ－ｙ－４＝０． （２）设 曲 线ｙ＝ １ ３ ｘ３＋４ ３ 与 过 点Ｐ（２，４）的 切 线 相 切 于 点 Ａ ｘ０， １ ３ｘ０ ３＋（ ）４３ ，则切线的斜率ｋ＝ｙ′｜ｘ＝ｘ０＝ｘ０２． 所 以 切 线 方 程 为ｙ－ １ ３ｘ０ ３＋（ ）４３ ＝ｘ２０（ｘ－ｘ０）， 即ｙ＝ｘ ２ ０·ｘ－ ２ ３ ｘ０３＋ ４ ３ ． 因 为 点Ｐ（２，４）在 切 线 上，所 以４＝２ｘ２０－ ２ ３ ｘ０３＋ ４ ３ ， 即ｘ３０－３ｘ ２ ０＋４＝０，所 以ｘ ３ ０＋