作业(十五) 函数的极值、最值与导数-2021新教材高二数学寒假假期作业（人教A版）

高 二 数 学 ４．Ｄ　ｙ′＝－２ｘｅ ｘ＋（３－ｘ２）ｅｘ＝ｅｘ（－ｘ２－２ｘ＋３），由ｙ′＞０ ｘ２＋２ｘ－３＜０－３＜ｘ＜１，所 以 函 数ｙ＝（３－ｘ ２）ｅｘ 的 单 调 递 增 区 间 是（－３，１）． ５．Ｃ　当ｘ＜－１时，ｘｆ′（ｘ）＜０， 所 以ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）为 增 函 数． 当－１＜ｘ＜０时，ｘｆ′（ｘ）＞０， 所 以ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）为 减 函 数． 当０＜ｘ＜１时，ｘｆ′（ｘ）＜０， 所 以ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）为 减 函 数． 当ｘ＞１时，ｘｆ′（ｘ）＞０，所 以ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）为 增 函 数． ６．Ｄ　因 为ｙ′＝ｘ ２＋２ｂｘ＋ｂ＋２， 又 因 为ｙ＝ １ ３ ｘ３＋ｂｘ２＋（ｂ＋２）ｘ＋３在 Ｒ 上 是 单 调 增 函 数，所 以ｘ２＋２ｂｘ＋ｂ＋２≥０恒 成 立， 所 以Δ＝４ｂ２－４（ｂ＋２）≤０， 即－１≤ｂ≤２． ７．解 析　函 数ｆ（ｘ）＝ｘ ２－２ｌｎｘ 的 定 义 域 是（０，＋∞）， ｆ′（ｘ）＝２ｘ－ ２ ｘ＝ ２（ｘ－１）（ｘ＋１） ｘ ，令ｆ′（ｘ）＜０，因 为ｘ＞ ０，所 以 解 得０＜ｘ＜１，即 函 数ｆ（ｘ）＝ｘ ２－２ｌｎｘ 的 单 调 递 减 区 间 是（０，１）． 答 案　（０，１） ８．解 析　由 已 知 得，ｆ′（ｘ）＝２ｘ＋ａ－ １ ｘ２ ，若 函 数ｆ（ｘ）在 １ ３ ，＋∞［ ）上 是 增 函 数，则 当ｘ∈ １３，＋∞［ ）时，２ｘ＋ａ－ １ ｘ２ ≥０恒 成 立，即ａ≥ １ ｘ２ －２ｘ 恒 成 立，即ａ≥（ １ ｘ２ －２ｘ）ｍａｘ， 设ｕ（ｘ）＝１ ｘ２ －２ｘ，则ｕ′（ｘ）＝－２ ｘ３ －２＜０，即 函 数ｕ（ｘ）在 １ ３ ，＋∞［ ）上 单 调 递 减，所 以 当ｘ＝１３ 时，函 数ｕ（ｘ）取 得 最 大 值ｕ（ ）１３ ＝２５３，所 以ａ≥２５３． 故 实 数ａ的 取 值 范 围 是 ２５ ３ ，＋∞［ ）． 答 案　 ２５ ３ ，＋∞［ ） ９．解　ｆ′（ｘ）＝３ａｘ２＋２ｂｘ＋ｃ．因 为ｆ（ｘ）在（－∞，－１）上 是 增 函 数，在（－１，０）上 是 减 函 数，所 以 ｆ′（－１）＝３ａ－２ｂ＋ｃ＝０． ① 由ｆ（ｘ）的 导 函 数 是 偶 函 数 得ｂ＝０． ② 又ｆ（ｘ）在ｘ＝０处 的 切 线 与 第 一、三 象 限 的 角 平 分 线 垂 直，所 以ｆ′（０）＝ｃ＝－１． ③ 由①②③得ａ＝ １ ３ ，ｂ＝０，ｃ＝－１， 即ｆ（ｘ）＝ １ ３ ｘ３－ｘ＋３． １０．解　（１）当ｋ＝２时，ｆ（ｘ）＝ｌｎ（１＋ｘ）－ｘ＋ｘ２，ｆ′（ｘ）＝ １ １＋ｘ－１＋２ｘ． 由 于ｆ（１）＝ｌｎ２，ｆ′（１）＝ ３ ２ ， 所 以 曲 线ｙ＝ｆ（ｘ）在 点（１，ｆ（１））处 的 切 线 方 程 为 ｙ－ｌｎ２＝ ３ ２ （ｘ－１），即３ｘ－２ｙ＋２ｌｎ２－３＝０． （２）ｆ′ （ｘ）＝ １ １＋ｘ － １ ＋ ｋｘ ＝ ｘ（ｋｘ＋ｋ－１） １＋ｘ ， ｘ∈（－１，＋∞）． 当ｋ＝０时，ｆ′（ｘ）＝－ ｘ １＋ｘ． 所 以，在 区 间（－１，０）上，ｆ′（ｘ）＞０； 在 区 间（０，＋∞）上，ｆ′（ｘ）＜０， 故ｆ（ｘ）的 单 调 递 增 区 间 是（－１，０），单 调 递 减 区 间 是（０， ＋∞）． 当０＜ｋ＜１时，由ｆ′（ｘ）＝ ｋｘ ｘ－１－ｋ（ ）ｋ １＋ｘ ＝０ ， 得ｘ１＝０，ｘ２＝ １－ｋ ｋ ＞０ ， 所 以，在 区 间（－１，０）和 １－ｋｋ ，＋∞（ ）上，ｆ′（ｘ）＞０； 在 区 间 ０， １－ｋ（ ）ｋ 上，ｆ′（ｘ）＜０， 故ｆ（ｘ）的 单 调 递 增 区 间 是（－１，０）和 １－ｋ ｋ ，＋∞（ ），单 调 递 减 区 间 是 ０， １－ｋ（ ）ｋ ． 当ｋ＝１时，ｆ′（ｘ）＝ ｘ２ １＋ｘ ， 故ｆ（ｘ）的 单 调 递 增 区 间 是（－１，＋∞）． 当ｋ＞１时，ｆ′（ｘ）＝ ｋｘ ｘ－１－ｋ（ ）ｋ １＋ｘ ＝０ ，得ｘ１＝ １－ｋ ｋ ∈ （－１，０），ｘ２＝０． 所 以 在 区 间 －１， １－ｋ（ ）ｋ 和（０，＋∞）上，ｆ′（ｘ）＞０； 在 区 间 １－ｋ ｋ ，（ ）０ 上，ｆ′（ｘ）＜０， 故ｆ（ｘ）的 单 调 递 增 区 间 是 －１， １－ｋ（ ）ｋ 和（０，＋∞），单 调 递 减 区 间 是 １－ｋ ｋ ，（ ）０ ． 【真 题 体 验】 １．解　ｆ（ｘ）的 定 义 域 为（０，＋∞）， ｆ′（ｘ）＝－ １ ｘ２ －１＋ａｘ ＝－ ｘ２－ａｘ＋１ ｘ２ ． （１）若ａ≤２，则ｆ′（ｘ）≤０，当 且 仅 当ａ＝２，ｘ＝１时，ｆ′（ｘ） ＝０，所 以ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上 单 调 递 减． （２）若 ａ＞２，令 ｆ′（ｘ）＝０，得 ｘ＝ ａ－ ａ２－槡 ４