6.2.4向量的数量积（基础练，含解析）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 (基础篇） 一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（ ） A．若，则或 B．若，则或 C．若，则或 D．若，则 【答案】B 【解析】对于选项，若，则或或，故错误； 对于选项，由，得，即可得其模相等，但方向不确定，故错误； 对于选项，由，得，则或或，故错误；对于选项，由，可得或，故正确， 故选：C. 2．已知,，且与不共线，则向量与的夹角为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】, , , 所求夹角为,故选：C. 3．若向量，满足，，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得：， 即， 将，代入可得：， 所以，故选：B 4．设为单位向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为单位向量，且，所以，所以，解得， 所以.故选：B. 5.同一平面上三个单位向量两两夹角都是，则与的夹角是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由, 所以,,则 所以即. 设与的夹角为,则, 又,所以与的夹角为. 故选：D. 二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分） 6．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，不与垂直的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由已知可得：. 对于选项A，因为，所以A符合题意； 对于选项B，因为，所以B符合题意； 对于选项C，因为，所以C符合题意； 对于选项D，因为，所以D不符合题意. 故选：ABC. 7． 下列命题中正确的是（ ） A. 存在唯一的实数，使得； B. 为单位向量，且，则； C. ； D. 若且则 【答案】BC 【解析】对于选项A，当为零向量时结论不成立，所以A错； 对于选项B,当为零向量时结论成立，当不为零向量时，表示与向量同向的单位向量，结论也成立，所以B正确； 对于选项C,，所以C正确 对于选项D,当，且，，都不为零向量时，，但与不一定相等，所以D错． 故选:BC． 8．下列命题中，结论正确的有（ ） A． B．若，则 C．若，则A､B､C､D四点共线； D．在四边形中，若，，则四边形为菱形. 【答案】BD 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，若，则，所以，，故，即B正确； 对于C，，则或与共线，故C错误； 对于D，在四边形中，若，即，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以四边形是菱形，故D正确； 故选：BD 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分） 9．若向量、满足＝1，＝2，且与的夹角为，则＝_________. 【答案】 【解析】夹角为， 所以 所以，故答案为:. 10．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________. 【答案】 【解析】由题意可得：， 由向量垂直的充分必要条件可得：， 即：，解得：. 故答案为：． 11．已知，，，，，则以，为邻边的平行四边形的对角线的长为________． 【答案】 【解析】∵，∴． ∴，即．故答案为： 四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 12．已知，． （1）若，的夹角为，求； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1）1；（2）. 【解析】（1） ； （2）， ， 即，解得：， ，， 所以与的夹角为. 13．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a－b)⊥c； (2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）{k|k<0或k>2}. 【解析】(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°， 所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c. (2)解：因为|ka＋b＋c|>1， 所以(ka＋b＋c)2>1， 即k2a2＋b2＋c2＋2kab＋2kac＋2bc>1， 所以k2＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°>1. 所以k2－2k>0，解得k<0或k>2. 所以实数k的取值范围为{k|k<0或k>2}． 14．如图，在和中，是的中点，，，，若，则求与的夹角的余弦值． 【答案】 【解析】由题意可得 ， ∴. 由，可得 . ∴，即， ∴，故答案为:. $$第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 (基础篇） 一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（ ） A．若，则或 B．若，则或