6.2.3向量的数乘运算（提升练，含解析）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.3 向量的数乘运算(提升篇） 一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．在梯形ABCD中，CD//AB，，点P在线段BC上，且，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，因为，根据向量的运算可得， 所以，故选:B. 2．设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】存在实数，使得， 说明向量共线，当同向时，成立， 当反向时，不成立，所以，充分性不成立. 当成立时，有同向，存在实数，使得成立，必要性成立， 即“存在实数，使得”是“”的必要而不充分条件.故选:B. 3．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝，＝，则向量＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图: 因为点E为CD的中点，CD∥AB， 所以， 所以.故选：C. 4．在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且若，，则＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得 ， . 故选：A. 5.已知点M是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】设点是上一点,且,点是上一点，且，如下图所示： 由，可知，以为邻边作平行四边形,连接，延长，交于，设,因为，所以， 由平行四边形，可知,设， ，所以,,因此与的面积之比为3，故选: C. 二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分） 6．下列关于向量的叙述正确的是（ ） A．向量的相反向量是 B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的 C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝ D．若向量a与b满足关系，则a与b共线 【答案】ABD 【解析】对于选项A,,向量的相反向量是，正确； 对于选项B,,模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确； 对于选项C,,若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝，错误，因为与可能方向相反； 对于选项D,若向量与满足关系，则与b共线，正确. 故选:ABD. 7．若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】如图，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 可知DF为的中位线，则，故D错误； 故选:BC． 8．直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M、N在过点P的直线上，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. 为常数 B. 的最小值为3 C. 的最小值为 D. m、n的值可以为：， 【答案】ABD 【解析】如下图所示： 由，可得， ， 若，，， 则，， ， 、P、N三点共线， ，， 当时，则， 则A、D选项合乎题意； ， 当且仅当时，等号成立，B选项成立； ， 当且仅当时，等号成立，C选项错误．故选：ABD． 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分） 9．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则＝________．(用 表示) 【答案】 【解析】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点， 所以＝, 故答案为：. 10． 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为___________ 【答案】 【解析】由，可得， 所以， 又三点共线，由三点共线定理，可得：， ，故答案为：. 11．知两个非零向量与不共线，，，． 若，则的值为_____________；若，，三点共线，则的值为_____________． 【答案】；. 【解析】∵， ∴． 由，， 又，，三点共线，则，， 得故答案为:；. 四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 12．(1)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，求x＋y的值． (2)设为的边的中点，，求的值 【答案】(1)1;(2) 【解析】(1)由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，即－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1． (2)∵（）- ∴mn 故答案为：(1)1;(2). 13．设是两个不共线向量，已知，，． 求证：A，B，D三点共线； 若，且B，D，F三点共线，求k的值． 【答案】(1)答案见解析;(2)12 【解析】证明：由已知得 又与有公共点B ，B，D三点共线． 由可知知  ，且B，D，F三点共线，   即， 得 解得． 14．如图所