第1讲 一次函数的概念及图像（讲义）-【教育机构专用】2021年春季八年级数学辅导讲义（沪教版）

第1讲 一次函数的概念及图像 模块一：一次函数的概念 知识精讲 1、 一次函数的概念 （1） 一般地，解析式形如（，是常数，且）的函数叫做一次函数； （2） 一次函数的定义域是一切实数； （3） 当时，解析式就成为（是常数，且）这时，y是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例； （4） 一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问 题确定． 例题解析 例1.下列函数中，哪些是一次函数? （1）； （2）； （3）； （4） ； （5）； （6）． 【难度】★ 【答案】（2）、（3）、（4）、（6）． 【解析】判断是否是一次函数，要整理成的形式，一次函数有要是一次，且是整式几个注意点．（1）是二次函数，（5）是分式． 【总结】考查一次函数的基本概念，会判断两个量是否是一次函数关，一般要把关系式整理成概念的标准形式，找出对应． 例2.（1）已知函数是一次函数，则k的取值范围是_________； （2）当m=________时，函数是一次函数，且不是正比例函数． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）一次函数，所以；（2）一次函数其中，要是一次，所以，又因为是一次函数，不是正比例函数，所以不能为0， 所以． 【总结】考查一次函数的基本概念中对于自变量一次的理解． 例3.已知一个一次函数，当自变量时，函数值为；当时，．求这个函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】设一次函数解析式为，将两点代入解二元一次方程组， 解得：，所以这个函数的解析式为：． 【总结】考察两点代入法求一次函数解析式，即两点代入转而解二元一次方程组． 例4.已知一次函数是一次函数，求实数k的值． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由一次函数的概念可知：，且，解得：或，又因为，所以． 【总结】考察一次函数的基本概念，对于自变量一次的及自变量系数不为零同时要满足的理解． 例5．（2020·上海市格致初级中学）如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a． （1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）； （2）求出k的值； （3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式． 【答案】（1）点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；（2）k＝；（3）y＝（3±）x． 【分析】（1）点D的横坐标为a，则点D(a，2a)，则AB＝AD＝2a，进而 求解； （2）将C点坐标代入y=kx即可求得k； （3）根据题干，可求得直线OF的的解析式为，当y=2a时，可求出点E( ，2a)，由S△DEF＝S正方形ABCD，可列方程进而求出m． 【详解】解：（1）点D的横坐标为a，则点D（a，2a）， 则AB＝AD＝2a，则点A、B、C的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）， 故点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）； （2）将点C的坐标代入y＝kx得，2a＝3ak，解得k＝； （3）设AF＝m，则点F（a，m），设直线OC旋转后交AD于点F，交CD于点E， 则直线OF的表达式为，当y＝2a时，y＝， 解得x=，故点E（，2a），由题意得：S△DEF＝S正方形ABCD＝， 即，解得：m＝， 则函数的表达式为y＝＝（3±）x． 【点睛】本题考查一次函数的性质、正方形的性质、面积的计算等，掌握一次函数的性质是解题关键． 模块二：一次函数的图像 知识精讲 1、 一次函数的图像： 一般地，一次函数（，是常数，且）的图像是一条直线．一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式． 画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线． 2、 一次函数的截距： 一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线（）与y轴的交点坐标是，直线（）的截距是b． 3、 一次函数图像的平移： 一般地，一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移得到．当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位． （函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4、 直线位置关系： 如果，那么直线与直线平行． 反过来，如果直线与直线平行，那么，． 例题解析 例1.若一次函数函数图像过原点，求a的值，并在坐标系中画出函数的图像． 【难度】★ 【答案】． 【解析】一次函数的图像过原点，即通过（0，0）点，且．把这点坐标代入解析式求解可得，所以解析式是． 【总结】一次函数的解析式与图像的关系，解析式中不为0的前提条件，以及图像过原点的