专题07导数的综合应用（3）-函数的零点-2021年高考数学（理)函数与导数二轮突破提升

《2021年数学（理）函数与导数二轮突破提升》 专题07 导数的综合应用（3）-零点问题 【考情分析】1.导数逐渐成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点. 2.多以解答题压轴形式出现，难度较大． 例题 (2020·福州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋有零点，求实数a的取值范围． 思路分析一 ❶fx有零点 　　　↓ ❷fx的性质、草图 　　　↓ ❸求导，确定fx的性质 思路分析二 ❶fx有零点 　　　↓ ❷a＝－xln x有解 　　　↓ ❸直线y＝a和曲线φx＝－xln x有交点 　　　↓ ❹求导确定φx的性质、草图 [变式1]　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)． (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． [变式2]　已知函数f(x)＝ln x＋x，方程x2＝2mf(x)(m>0)有唯一实数解，求m. 【方法小结】　解函数零点问题的一般思路 (1)对函数求导． (2)分析函数的单调性，极值情况． (3)结合函数性质画函数的草图． (4)依据函数草图确定函数零点情况． 【突破提升练习】 1．(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)． (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点． 2．已知函数f(x)＝ln x－x＋2sin x，f′(x)为f(x)的导函数． (1)求证：f′(x)在(0，π)上存在唯一零点； (2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点． 3．(2019·全国Ⅱ改编)已知函数f(x)＝ln x－.讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点． 4．已知函数f(x)＝ax2－1－2ln x(a∈R)． (1)当a＝1时，求证：f(x)≥0； (2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 5.已知f(x)=x2+mx-sin x,x∈[0,1]. (1)若f(x)在[0,1]上单调递增,求实数m的取值范围; (2)若0<m<1,试分析方程f(x)+=0(x∈[0,1])的根的个数. 6.已知f(x)=ax3-3x2+1(a>0),g(x)=ln x,定义h(x)=max{f(x),g(x)}= (1)求函数f(x)的极值; (2)试讨论函数h(x)的零点个数. 2 $$ 《2021年数学（理）函数与导数二轮突破提升》 专题07 导数的综合应用（3）-零点问题 【考情分析】1.导数逐渐成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点. 2.多以解答题压轴形式出现，难度较大． 例题 (2020·福州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋有零点，求实数a的取值范围． 思路分析一 ❶fx有零点 　　　↓ ❷fx的性质、草图 　　　↓ ❸求导，确定fx的性质 思路分析二 ❶fx有零点 　　　↓ ❷a＝－xln x有解 　　　↓ ❸直线y＝a和曲线φx＝－xln x有交点 　　　↓ ❹求导确定φx的性质、草图 【解析】　方法一　f′(x)＝－＝，x>0， ①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(1)＝ln 1＋a＝a≤0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上有1个零点． ②当a>0，则x∈(0，a)时，f′(x)<0；x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 当x＝a时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝ln a＋1， 则ln a＋1≤0，即0<a≤， 又f(1)＝ln 1＋a＝a>0， 所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上有零点． 综上所述，实数a的取值范围为. 方法二　由f(x)＝ln x＋有零点可得， a＝－xln x有解， 设φ(x)＝－xln x，则φ′(x)＝－ln x－1， 令φ′(x)<0，得x>； 令φ′(x)>0，得0<x<， 所以φ(x)＝－xln x在上单调递增，在上单调递减，且x→0时，φ(x)→0，x→＋∞时，φ(x)→－∞， 画出φ(x)＝－xln x的草图如图所示，当a≤时，a＝－xln x有解， 所以实数a的取值范围是. [变式1]　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)． (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 【解析】　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1， 令