专题02基本初等函数-2021年高考数学（理)函数与导数二轮突破提升

《2021年数学（理）函数与导数二轮突破提升》 专题02 基本初等函数 【考情分析】　1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现． 考点一　基本初等函数的图象与性质 重点热点 1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况． 例1　(1)(2020·全国Ⅲ)已知55<84,134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】　A 【解析】　∵log53－log85＝log53－＝ <＝ <＝0， ∴log53<log85. ∵55<84,134<85， ∴5log85<4,4<5log138， ∴log85<log138， ∴log53<log85<log138，即a<b<c. (2)已知函数f(x)＝ex＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　) A. B．(－∞，e) C. D. 【答案】　B 【解析】　由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解， 即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解， 即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点． 函数y＝ln(x＋a)可以看作由y＝ln x左右平移得到， 当a＝0时，两函数有交点， 当a<0时，向右平移，两函数总有交点， 当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y＝ln x的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点， 把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，∴a<e. 【方法小结】　(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 考点二　函数的零点 重点热点 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 考向1　函数零点的判断 例2　(1)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点x1，x2，则x1＋x2等于(　　) A．2 B．2或2＋ C．2或3 D．2或3或2＋ 【答案】　D 【解析】　当x≤0时， f′(x)＝(x＋1)ex， 当x<－1时，f′(x)<0， 故f(x)在(－∞，－1)上单调递减， 当－1<x≤0时，f′(x)>0， 故f(x)在(－1,0]上单调递增， 所以x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－. 又当x≥1时，f(x)＝3－x，当0<x<1时，f(x)＝x＋1. 作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m有两个不同的根，等价于直线y＝m与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2， 由图可知1<m<2或m＝0或m＝－. 若1<m<2，则x1＋x2＝2； 若m＝0，则x1＋x2＝3； 若m＝－，则x1＋x2＝－1＋3＋＝2＋. (2)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，则关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】　C 【解析】　对于任意的x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f[2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4. 又∵当x∈[－2,0]时，f(x)＝x－1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数， 且f(6)＝1，则函数y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示， 根据图象可得y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根． 考向2　求参数的值或取