专题01函数的图象与性质-2021年高考数学（理)函数与导数二轮突破提升

《2021年数学（理）函数与导数二轮突破提升》 专题01 函数的图象与性质 【考情分析】　1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域、分段函数的函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．难度属中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题． 考点一　函数的概念与表示 重点热点 1．复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域． (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域． 2．分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集． 例1　(1)若函数f(x)＝log2(x－1)＋，则函数f 的定义域为(　　) A．(1,2] B．(2,4] C．[1,2) D．[2,4) 【答案】　B 【解析】　由得1<x≤2，故f(x)的定义域为(1,2]，由1<≤2，得2<x≤4，故f 的定义域为(2,4]． (2)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－1)≥2的x的取值范围是________． 【答案】　 【解析】　∵函数f(x)＝ ∴当x≤0时，x－1≤－1，f(x)＋f(x－1)＝2x＋1＋2(x－1)＋1＝4x≥2，无解； 当即0<x≤1时， f(x)＋f(x－1)＝4x＋2(x－1)＋1＝4x＋2x－1≥2，得≤x≤1； 当x－1>0，即x>1时，f(x)＋f(x－1)＝4x＋4x－1≥2，得x>1. 综上，x的取值范围是. 【方法小结】　(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则． (2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解． 考点二　函数的性质 重点热点 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数图象的对称中心或对称轴 (1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． (2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． 考向1　单调性与奇偶性 例2　 (2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 【答案】　D 【解析】　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 则f(0)＝0. 又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示， 则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示． 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0， 得－1≤x≤0. 当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0， 得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]． 考向2　奇偶性与周期性 例3　(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f ＝f(x)，当x∈时，f(x)＝，则f(x)在区间内是(　　) A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0 C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0 【答案】　D 【解析】　当x∈时，由f(x)＝可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)<0.由f ＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)<0.故选D. (2)已知定义在R上的函数f(x)满足：函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(2 020)＋f(－2 021)＝________. 【答案】　1－e 【解析】　因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以y＝f(x)的图象关于原点对称， 又定义域为R，所以函数y＝f(x)是奇函数， 因为x≥0时恒有f(x＋2)＝f(x)， 所以x≥0时，f(x)是周期为2的周期函数． 所以f(2 020)＋f(－2 021)＝f(0)－f(2 021) ＝f(0)－f(1)＝