3.1 排列与组合-新教材高中数学选择性必修第二册【新课程同步训练】学习手册（人教B版）

第三章 排列、 组合与二项式定理 学 知 识 梳 理 知识点 1 分类加法计数原理 完成一件事， 如果有 n 类办法， 且第一类办法 中有 m 1 种不同的方法， 在第二类办法中有 m 2 种不 同的方法……在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m 1 +m 2 + … +m n 种不同的方法 . 知识点 2 分步乘法计数原理 完成一件事， 如果需要分成 n 个步骤， 且： 做 第一步有 m 1 种不同的方法， 做第二步有 m 2 种不同 的方法……做第 n 步有 m n 种不同的方法， 那么完成 这件事共有 N＝m 1 ×m 2 × … ×m n 种不同的方法 . 知识点 3 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系 与区别 典 例 精 析 知识点 1 分类加法计数原理的应用 典例 1 （ 1 ） 从高三年级的四个班中共抽出 22 人， 其中一、 二、 三、 四班分别抽出 4 人， 5 人， 6 人， 7 人， 他们自愿组成数学课外小组， 选其中 1 人为组长， 有多少种不同的选法？ （ 2 ） 在所有的两位数中， 个位数字大于十位数字的 两位数共有多少个？ 解析： （ 1 ） 分 4 类： 从一班中选 1 人， 有 4 种选法； 从二班中选 1 人， 有 5 种选法； 从三班中选 1 人， 有 6 种选法； 从四班中选 1 人， 有 7 种选法 . 共有不同选法 N＝4+5+6+7＝22 种 . （ 2 ） 方法一 按十位上的数字分别是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 的情况分成 8 类， 在每一类中满足题目条 件的两位数分别是 8 个， 7 个， 6 个， 5 个， 4 个， 3 个， 2 个， 1 个 . 由分类加法计数原理知， 符合题 意的两位数共有 8+7+6+5+4+3+2+1＝36 个 . 方法二 按个位上的数字是 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 分成 8 类， 在每一类中满足条件的两位数分别是 第三章 排列、 组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.1 基本计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法 的种数的问题 区别 1. 完 成 一 件 事 共 有 n 类 办 法 ， 关 键 词 是 “分类” 2. 每 类 办 法 都 能 完 成 这件事 3. 各 类 办 法 都 是 互 斥 的、 并列的、 独立的 1. 完 成 一 件 事 共 分 n 个 步 骤， 关键词是 “分步” 2. 任 何 一 步 都 不 能 独 立 完 成这件事， 缺少任何一步也 不能完成这件事， 只有每个 步骤都完成了， 才能完成这 件事 3. 各步之间是相互关联的、 互相依存的 精彩点拨 （ 1 ） 按所选组长来自不同班级为分类标准 . （ 2 ） 按个位 （或十位） 取 0～9 不同的数字进行 分类 . 1 学 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 1 个， 2 个， 3 个， 4 个， 5 个， 6 个， 7 个， 8 个， 所以按分类加法计数原理知， 满足条件的两位数共 有 1+2+3+4+5+6+7+8＝36 个 . 知识点 2 分步乘法计数原理的应用 典例 2-1 一种号码锁有 4 个拨号盘， 每个拨号盘 上有从 0 到 9 共十个数字， 这 4 个拨号盘可以组成 多少个四位数的号码？ （各位上的数字允许重复） 解析： 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成： 第一步， 有 10 种拨号方式， ∴m 1 ＝10 ； 第二步， 有 10 种拨号方式， ∴m 2 ＝10 ； 第三步， 有 10 种拨号方式， ∴m 3 ＝10 ； 第四步， 有 10 种拨号方式， ∴m 4 ＝10. 根据分步乘法计数原理， 共可以组成 N＝10×10× 10×10＝10 000 个四位数的号码 . 典例 2-2 （ a 1 +a 2 +a 3 ）（ b 1 +b 2 +b 3 ）（ c 1 +c 2 +c 3 +c 4 ）展开后 共有 项 . 解析： 该展开式中每一项的因式分别来自 a 1 +a 2 +a 3 ， b 1 +b 2 +b 3 ， c 1 +c 2 +c 3 +c 4 中的各一项 . 从 a 1 ， a 2 ， a 3 中 任取一项共 3 种不同取法， 从 b 1 ， b 2 ， b 3 中任取一 项共 3 种不同取法， 从 c 1 ， c 2 ， c 3 ， c 4 中任取一项 共 4 种不同取法 . 由分步乘法计数原理知， 该展开 式共 3×3×4＝36 项 . 答案： 36 知识点 3 两个计数原理综合应用 典例 3 有 A ， B ， C 型高级电脑各一台， 甲、 乙、 丙、