3.2 二项式定理与杨辉三角-新教材高中数学选择性必修第二册【新课程同步训练】学习手册（人教B版）

第三章 排列、 组合与二项式定理 学 知 识 梳 理 知识点 1 二项式定理 1. 定义： 公式（ a+b ） n =C 0 n a n +C 1 n a n-1 b+ … +C k n a n-k b k + … + C n n b n （ n∈N * ） 称为二项式定理 . 2. 通项公式与二项式系数 （ a+b ） n 展开式的第 k+1 项 C k n a n-k b k 称为二项展 开式的通项， C k n （ k=0 ， 1 ， 2 ， …， n ） 称为第 k+1 项的二项式系数， 用 T k+1 表示第 k+1 项 . 将 T k+1 =C k n a n-k b k ， 其 中 0≤k≤n ， k∈N ， n∈ N * ， 称为二项展开式的通项公式 . 3. 二项展开式的特点 （ 1 ） （ a+b ） n 展开式共有 n+1 项 . （ 2 ） 各项的次数都等于二项式的幂指数 n. 字母 a 的指数由 n 开始按降幂排列到 0 ， 字母 b 指数 由 0 开始按升幂排列到 n ， 每一项中， a ， b 次 数和均为 n. 常用的两个二项式： ① （ a-b ） n =C 0 n a n -C 1 n a n-1 b+ … + （ -1 ） k C k n a n-k b k + … + （ -1 ） n C n n b n . ② （ 1+x ） n =C 0 n +C 1 n x+ … +C k n x k + … +C n n x n . 知识点 2 二项式系数的性质 1. 二项展开式中各二项式系数之和为 2 n ， 即 C 1 n +C 2 n + … +C k n + … +C n-1 n +C n n =2 n . 2. 二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于 各偶数项的二项式系数之和， 即 C 0 n +C 2 n +C 4 n + … = C 1 n +C 3 n +C 5 n + … 知识点 3 杨辉三角 二项式（ a+b ） n 展开式的二项式系数， 当 n 依次 取 1 ， 2 ， 3 ， …时， 列出的一张表， 称为二项式系 数表， 因它形如三角形， 南宋的数学家杨辉对其有 过深入研究， 所以我们又称它为杨辉三角 . （如图） 杨辉三角蕴含的基本规律： （ 1 ） 表中每个数都是组合数， 第 n 行的第 k+1 个 数是 C k n = n! k! （ n-k ） ! . （ 2 ） 三角形的两条斜边上都是数字 1 ， 而其余的数 都等于它肩上的两个数字相加， 也就是 C k n = C k-1 n-1 +C k n-1 . （ 3 ） 杨辉三角具有对称性 （对称美）， 即 C k n =C n-k n . （ 4 ） 杨辉三角的第 n 行是二项式（ a+b ） n 展开式的二 项式系数， 即（ a+b ） n =C 0 n a n +C 1 n a n-1 b+ … +C k n a n-k b k + … +C n n b n （ n∈N * ） . （ 5 ） 当 n 为偶数时， 第 n 行有奇数项， 中间一项最 大； 当 n 为奇数时， 第 n 行有偶数项， 中间 两项相等且最大 . 典 例 精 析 知识点 1 二项式定理 典例 1 （ 1 ） 求 3 x 姨 + 1 x 姨 % & 4 的展开式； （ 2 ） 化简： 5 （ x-1 ） +10 （ x-1 ） 2 +10 （ x-1 ） 3 +5 （ x-1 ） 4 + 3.2 二项式定理与杨辉三角 １ １ １ １ ２ １ １ ３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ １0 １0 ５ １ １ ６ １５ ２0 １５ ６ １ …… 0 行 1 行 2 行 3 行 4 行 5 行 6 行 …… 注 意 （ 1 ） 二项式（ a+b ） n 与（ b+a ） n 展开式中第 k+1 项 是不相同的， （ a+b ） n 展开式中第 k+1 项为 C k n a n-k b k ， 而（ b+a ） n 展开式中第 k+1 项为 C k n b n-k a k . （ 2 ） 二项式系数与项的系数完全是不同的两个 概念 . 二项式系数是指 C 0 n ， C 1 n ， …， C k n ， …， C n n ， 它只与各项的项数有关， 只有特 殊情况下它们的值才相等 . 13 学 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） （ x-1 ） 5 ； （ 3 ） 设 n 为正整数， 化简： C 0 n 4 n-1 +C 1 n 4 n-2 +C 2 n 4 n-3 + … + C n-1 n 4 0 +C n n 4 -1 . 解析： （ 1 ） 法一： 3 x 姨 + 1 x 姨 姨 # 4 =C 0 4 （ 3 x 姨 ）