4.3 统计模型-新教材高中数学选择性必修第二册【新课程同步训练】学习手册（人教B版）

学 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） 知 识 梳 理 知识点 1 相关关系 1. 相关关系： 两个变量之间具有一种非确定性关 系， 则称它们之间具有相关关系 . 2. 回归分析： 是对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的一种方法 . 3. 线 性 相 关 ： 如 果 一 组 具 有 相 关 关 系 的 样 本 点 （ x 1 ， y 1 ）， （ x 2 ， y 2 ）， …， （ x n ， y n ）， 作出散点 图， 发现变量 x 与变量 y 之间的关系可以近似 地用一次函数来刻画， 则称这两个变量线性相 关 . 若 x 增大， y 值也增大， 称变量 x 与 y 正相 关， 反之为负相关 . 知识点 2 回归直线方程及其性质 1. 回归直线方程 一 般 地 ， 已 知 变 量 x 与 y 的 n 对 成 对 数 据 （ x i ， y i ）， i=1 ， 2 ， 3 ， …， n. 任意给定一个一次函 数 y=bx+a ， 对每一个已知的 x i ， 由直线方程可以得 到一个估计值y 赞 i =bx i +a ， 如果一次函数y 赞 =b 赞 x+a 赞 能 使 （y 赞 1 -y 1 ） 2 + （y 赞 2 -y 2 ） 2 + … + （y 赞 n -y n ） 2 = n i=1 移 （ y i -y 赞 i ） 2 取得最 小值， 则y 赞 =b 赞 x+a 赞 称为 y 关于 x 的回归直线方程 （对 应的直线称为回归直线） . 这种建立回归方程的方 法称为最小二乘法 . 其中b 赞 称为回归系数， 且有 b 赞 = n i=1 移 （ x i -x ）（ y i -y ） n i=1 移 （ x i -x ） 2 = n i=1 移 x i y i -nxy n i=1 移 x 2 i -nx 2 ， a 赞 =y 赞 -b 赞 x x= 1 n n i=1 移 x i ， y= 1 n n i=1 移 y i i # . 2. 回归直线方程的性质 （ 1 ） （ x ， y ） 称为样本点的中心， 回归直线一定经 过样本点的中心 . （ 2 ） 对于一次函数y 赞 =b 赞 x+a 赞 ， x 每增大一个单位时， y 赞 增大b 赞 个单位 . （ 3 ） b 赞 >0 时， y 与 x 正相关； b 赞 <0 时， y 与 x 负相关 . 知识点 3 相关系数 相关系数： 对于变量 x 和 y 的 n 对成对数据 （ x i ， y i ）， i=1 ， 2 ， 3 ， …， n ， 检验 y 与 x 的线性关 系强弱用线性相关系数 r （简称相关系数） . r= n i=1 移 （ x i -x ）（ y i -y ） n i=1 移 （ x i -x ） 2 n i=1 移 （ y i -y ） 2 姨 = n i=1 移 x i y i -nxy n i=1 移 （ x 2 i -nx x & 2 n i=1 移 （ y 2 i -ny x & 2 姨 . r 具有以下性质： ①|r|≤1 ， 并且 |r| 越接近 1 ， 线性相关程度越强； |r| 越接近 0 ， 线性相关程度越弱 . ②|r|=1 的充要条件是成对数据构成的点都在回归 直线上 . ③r>0 时， y 与 x 正相关； r<0 时， y 与 x 负相关 . 知识点 4 非线性回归 1. 非线性回归分析的思想 x y x xy x x y x y y xy x y 4.3.1 一元线性回归模型 4.3 统计模型 42 第四章 概率与统计 学 研究两个变量的关系时， 依据样本点画出散点 图， 从整体上看， 如果样本点没有分布在某个带状 区域内， 就称这两个变量之间不具有线性相关关 系， 此时不能直接利用线性回归方程来建立两个变 量之间的关系 . 2. 非线性回归方程 当回归方程不是形如y 赞 =bx+a （ a ， b∈R ） 时， 称之为非线性回归方程 . 当两个变量不呈线性相关关系时， 依据样本点 的分布选择合适的曲线方程来拟合数据， 可通过变 量代换， 利用线性回归模型建立两个变量间的非线 性回归方程 . 常见非线性回归方程的转换方式如下： 典 例 精 析 知识点 1 相关关系 典例 1 下列两个变量之间的关系是相关关系的是 （ ） A. 角度与它的余弦值 B. 正方形的边长和面积 C. 正 n 边形的边数和内角和 D. 人的年龄和身高 解析： 函数关系是变量之间的一种确定性的关系 . 选项 A ， B ， C 中的两个变量之间都是函数关系， 可以写出它们的函数关系式， 分别为 f （ 兹 ） =cos兹 ， g （ a ） =a 2 ， h （ n ） =nπ-2π. 选项 D 中的两个变量之间 不是函