2.3.2　两点间的距离公式（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

2.3.2　两点间的距离公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式，并能灵活应用． 2．了解坐标法的解题步骤. 通过两点间的距离公式的应用，增强数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. [对应学生用书P38] 两点间的距离公式 1．平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 2．两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ . (2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|. (3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面内两点间的距离公式不适用于坐标轴上的点．(　　) (2)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.(　　) (3)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3) √ 2．(教材P74练习1改编)已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　) A．5　　 B．　　 C．　　 D．4 A　[|MN|＝ ＝5.] 3．已知A(2，－3)，B(1,1)，那么线段AB的长为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． D　[线段AB的长为 |AB|＝ ＝. ] 4．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________. 　[根据中点坐标公式，得＝1，且＝y. 解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝ ＝.] [对应学生用书P39] 探究一　应用两点间距离公式求点的坐标 在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等． 解题流程： 第一步：泛读题目明待求结论：在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P. 第二步：精读题目挖已知条件：点P到两点A(1，－1)，B(2,0)的距离相等． 第三步：建立联系寻解题思路：思路一：设出P点坐标(x，y)，由点P在直线上和|PA|＝|PB|，根据两点间距离公式建立x，y的方程，解方程组得P点坐标．思路二：由|PA|＝|PB|知P在A、B所连线段的中垂线上，再解中垂线方程和l组成的方程组求交点P的坐标． 第四步：书写过程养规范习惯． 解　解法一：设P点坐标为(x，y)， 由P在l上和P到A，B距离相等建立方程组 解得∴P点坐标为(0,1)． 解法二：设P(x，y)，两点A(1，－1)，B(2,0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0，① 又3x－y＋1＝0，② 解由①②组成的方程组 得∴P点坐标为(0,1)． [方法总结]　利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标． [训练1]　已知点A(4,12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________. (－1,0)或(9,0)　[设点P的坐标为(x,0)， 由|PA|＝13，得＝13，解得x＝－1或x＝9. 所以点P的坐标为(－1,0)或(9,0)．] 探究二　应用两点间距离公式求最值 已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)． (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小，并求出这个最小值； (2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大，并求出这个最大值． 解　(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，则解得故A′(－2,8)． P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，解得故所求的点P的坐标为(－2,3)，最小值为|A′B|＝|8－(－4)|＝12. (2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，解得故所求的点P的坐标为(12,10)，最大值为|A′B|＝ ＝4. [方法总结]　利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上两个式子的和或差的最小值或最大值．先利用式子的几何意义和对称思想，转化为两点之间的距离，再利用两点间的距离公式求值． [训练2]　著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结