2.2.3　直线的一般式方程（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

2.2.3　直线的一般式方程 课程内容标准 学科素养凝练 1．掌握直线方程的一般式，并会熟练应用． 2．会选择适当的方程形式求直线方程． 3．掌握一般式与其他形式的互化. 通过直线方程的一般式的学习与应用，进一步加强数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养. [对应学生用书P34] 直线的一般式方程 把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．(　　) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式．(　　) (3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A．　　　 B． C．∪　　 D．∪ B　[由直线方程可得该直线的斜率为－， 又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是.] 3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 C　[由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．] 4．(教材P65例5改编)过点A(－1,2)，斜率为2的直线的一般式方程为________. 答案　2x－y＋4＝0 [对应学生用书P35] 探究一　直线的一般式方程 [知能解读]　在求直线方程时，根据条件，应先选择适当的直线方程的形式，最后再化成一般式方程．选择直线方程的形式时，应注意各种形式的适用条件．若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零． 根据下列条件写出直线方程，并化为一般形式． (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 解　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，整理得x－y＋3－5＝0. (2)由两点式方程得＝，整理得2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程得＋＝1，整理得x＋3y＋3＝0. [方法总结]　利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式求解直线的方程时，一定要注意每种方程形式的适用范围，要注意对斜率是否存在，截距是否为0进行分类讨论，最后将方程形式转化为一般式． [训练1]　(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程； (2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 解　(1)法一：设直线l的斜率为k， ∵l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝－. 又∵l经过点(1,2)，可得所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋4y－11＝0. 法二：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0. ∵l经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11. ∴所求直线方程为3x＋4y－11＝0. (2)法一：设直线l的斜率为k. ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝. 又∵l经过点A(2,1)，∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0. 法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)，∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0. ∴所求直线l的方程为x－2y＝0. 探究二　直线的平行与垂直问题 [知能解读]　已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行 的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交 的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合 的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ 解　(1)法一：由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0. l2：mx＋3y－2＝0. ①当m＝0时，显然l1与l2不平行． ②当m≠0时，l1∥l2， 需＝≠. 解得m＝2或m＝－3.∴m的值为2或－3. 法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2. 当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然l1与l2不重合，∴l1∥l2. 同理当m＝2时，l1：