2.2.1　直线的点斜式方程（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.根据确定直线位置的几何要素，探索直线的点斜式方程． 2．掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会熟练应用． 3．了解截距的概念，了解直线方程的斜截式方程与一次函数的关系． 4．会用直线的点斜式方程和斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 通过直线方程的点斜式和斜截式的应用，提高数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算的核心素养. [对应学生用书P30] 一、直线的点斜式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 点斜式 点P(x0，y0) 和斜率k y－y0＝k(x－x0) 斜率存在 的直线 二、直线的斜截式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 斜率存在 的直线 三、直线平行、 垂直的判断 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2， (1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；(2)l1⊥l2⇔k1k2＝－1. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线．(　　) (2)＝k与y－y0＝k(x－x0)都是直线的点斜式方程．(　　) (3) 直线的斜截式方程y＝kx＋b即为一次函数的解析式．(　　) (4) 直线的纵截距是直线与y轴交点的纵坐标．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材P62练习2改编)直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　C　) A．2　　 B．－1　　 C．3　　 D．－3 3．(教材P61例2改编)已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于(　　) A．2　　 B．1　　 C．0　　 D．－1 B　[由a＝2－a，得a＝1.] 4．无论k取何值，直线y－2＝k(x＋1)所过的定点是______. 答案　(－1,2) [对应学生用书P30] 探究一　直线的点斜式方程 [知能解读]　若直线的斜率存在，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)；若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝x0. 根据下列条件，求直线的方程 (1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，与x轴垂直． 解　(1)由点斜式方程可知，所求直线的方程为y－5＝4(x－2)，即4x－y－3＝0. (2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2， 即x－y＋1＝0. (3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1. (4)∵直线与x轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线所有点的横坐标都是1，故这条直线方程为x＝1. [方法总结]　求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以，已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标，均可求出直线的方程．特别注意：斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线方程x＝x0. [训练1]　求出经过点P(3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直． 解　(1)∵直线经过点P(3,4)，斜率k＝2，∴直线方程为y－4＝2(x－3)．如图①. (2)∵直线经过点P(3,4)，且与x轴平行，即斜率k＝0，∴直线方程为y＝4.如图②. (3)∵直线经过点P(3,4)，且与x轴垂直，∴直线方程为x＝3.如图③. 探究二　直线的斜截式方程 求满足下列条件的直线方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. [分析]　根据条件确定直线的斜率及直线在y轴上的截距，代斜截式即可． 解　(1)由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得y＝2x－1. (2)∵y＝x＋1的斜率为，∴其倾斜角为60°，故所求直线的倾斜角为30°， ∴k＝tan 30°＝，又b＝－2， ∴直线方程为y＝x－2. (3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. [方法总结] 1．截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零． 2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的