1.4.2　第2课时　用空间向量研究夹角问题（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

第2课时　用空间向量研究夹角问题 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的定义． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角． 3．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题． 4．能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何夹角问题中的作用. 通过向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [对应学生用书P21] 一、异面直线所成的角 异面直线所成的角的向量表示式：若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝. 二、直线与平面所成的角 直线与平面所成的角的向量表示式：直线与平面相交，设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝，如图． 三、平面与平面的夹角 1．平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 2．平面与平面的夹角的向量表示式：设平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝，如图． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　　) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　　) (4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材P38练习1改编)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是(　　) A． 　　 B．　　 C．　　 D． D　[以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，则＝(－1,1，－2)，＝(－1,0,0)，∴cos〈，〉＝＝＝，即A1B与AC所成角的余弦值是.] 3．已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30°　　 B．60°　　 C．150°　　 D．120° B　[设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝60°.] 4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________. 45°　[如图，建立空间直角坐标系， 设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD，又CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD.所以＝(0,1,0)，＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45°. 故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.] [对应学生用书P22] 探究一　求异面直线所成的角 如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，求异面直线PQ与AM所成的角(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． D　[以A为坐标原点，AC、AB、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AA1＝AB＝AC＝2，则＝(2,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,1,2)，＝(－1,0,2)， 所以·＝0，所以QP与AM所成角为.] [方法总结]　求异面直线所成角的方法 (1)几何法 ①作图：选择“特殊点”作异面直线的平行线，作出所求角； ②证明：证明所作角符合定义； ③计算：解三角形求解． (2)坐标法 ①建系：建立空间直角坐标系； ②找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标； ③求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角； ④下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线 所成的角． 提醒：两条异面直线所成的角的取值范围是. [训练1]　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足． (1)求证：BE⊥PD； (2)求异面直线AE与CD