1.4.2　第1课时　用空间向量研究距离问题（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式． 2．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题． 3．能描述用向量方法解决距离问题的程序，体会向量方法在研究距离问题中的作用. 通过点到直线的距离公式、点到平面的距离公式的学习以及利用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，强化数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [对应学生用书P19] 一、点到直线的距离 点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如图，设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.点P到直线l的距离PQ＝＝，如图． 二、点到平面的距离 点到平面的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离d＝，如图． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)用向量法求点线距，是将点线距转化为已知点与直线上一点构成的向量在与直线垂直的向量方向上的投影向量的模．(　　) (2)用向量法求点面距，是将点面距转化为已知点与平面内一点构成的向量在平面的法向量方向上的投影向量的模．(　　) (3)两异面直线间的距离可以转化成线面距，进而可转化成点面距．(　　) (4)两平行直线间的距离可以转化成点线距．(　　) (5)线面距、面面距可以转化成点面距．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到α的距离为(　　) A．10　　 B．3　　 C．　　 D． D　[A(－1,3,0)，P(－2,1,4)，∴＝(－1，－2,4)． ∴·n＝10，|n|＝3，∴点P到α的距离为＝＝.] 3．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l的距离为________. 　[＝(－6,0,0)，d＝＝＝.] 4．已知直线AB∥平面α，平面α的法向量为n＝(1,0,1)，平面α内一点C的坐标为(0,0,1)，直线AB上点A的坐标为(1,2,1)，则直线AB到平面α的距离为________. 　[由于直线AB∥平面α，故直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离，又＝(1,2,0)，所以点A到平面α的距离为d＝＝＝.] [对应学生用书P19] 探究一　点到直线的距离 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是线段DC1的中点，分别以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．求点M到直线AD1的距离． [分析]　建系，利用点到直线的距离公式求解． 解　如题图， 则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)，M. ＝(－a,0，a)，＝， 直线AD1的一个单位方向向量s＝， ||2＝a2，·s＝a. 所以点M到直线AD1的距离d＝＝ ＝a. [变式]　本题条件“M是线段DC1的中点”改为“M是线段DC1上的动点”，试求点M到直线AD1距离的最小值． 解　如题图，则A(a,0,0)，D1(0,0，a)， 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s＝，＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝ ＝ ＝ ， 根式内的二次函数在m＝－＝时取最小值2－a×＋a2＝a2，故d的最小值为a. [方法总结]　向量法求点N到直线l的距离的步骤 第一步：建系，依据图形先求出直线l的单位方向向量s. 第二步：在直线l上任取一点M(注：可选择特殊便于计算的点)．计算点M与直线l外的点N的方向向量. 第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算d＝ . 探究二　点到平面的距离 如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为AB，BC的中点，求点D1到平面B1EF的距离． [分析]　先建系，先求平面B1EF的法向量n，再利用点面距公式求解． 解　如图所示，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则E(2，，0)，F(，2，0)，B1(2，2，4)， B(2，2，0)，D1(0,0,4)， 所以＝(0，，4)，＝(，0,4)， ＝(－2，－2，0) 设n＝(x，y，z)是平面B1EF的法向量，则n⊥，n⊥， 所以所以x＝y＝－2z， 所以可取n＝(2，2，－1)， 所以点D1到平面B1EF的距离d＝＝＝. [方法总结