1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 课程内容标准 学科素养凝练 1．能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法． 3．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系． 4．能用向量方法证明有关直线、平面之间的位置关系，体会向量方法在研究几何问题中的应用. 通过直线的方向向量和平面的法向量的求法、利用向量方法证明有关直线、平面之间的位置关系的学习，增强数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [对应学生用书P15] 一、空间中点、直线和平面的向量表示 空间图形 向量表示 图形表示 点 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量. 直线 点A是直线l上的一个点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta或＝＋t，这就是空间直线的向量表达式. 平面 取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y，这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 平面 的法 向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}. 二、空间中直线、平面的平行 位置 关系 向量表示 图形表示 线线 平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 线面 平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 面面 平行 设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 三、空间中直线、平面的垂直 位置关系 向量表示 图形表示 线线 垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 线面 垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔ ∃λ∈R，使得u＝λn. 面面 垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β ⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　　) (2)若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行．(　　) (3)两个不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1和l2的位置关系是平行．(　　) (4)平面的单位法向量是唯一确定的．(　　) (5)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.(　　) (6)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则a∥c，a⊥b.(　　) (7)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√　(7)× 2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个法向量是(　　) A．(1,1，－1)　　　 B．(1，－1,1) C．(－1,1,1)　　 D．(－1，－1，－1) D　[＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)． 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1. 故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．] 3．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15　　 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15　　 D．x＝6，y＝ D　[∵l1∥l2，∴a∥b，∴存在λ∈R，使a＝λb，则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy，∴x＝6，y＝.] 4．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________. －8　[∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直． ∴(2，m,1)·＝2＋m＋2＝0.解得m＝－8.] [对应学生用书P16] 探究一　求平面的法向量 如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝.试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量． [分析]　先建系，利用待定系数法求平面法向量，根据法向量与平面内的两条不共线的向量垂直，计算出平面的一个法向量． 解