1.3　空间向量及其运算的坐标表示（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 课程内容标准 学科素养凝练 1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． 2．会用空间直角坐标系刻画点的位置． 3．掌握空间向量的坐标表示． 4．掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示． 5．借助空间向量运算的坐标表示，探索并得出空间两点间的距离公式. 通过空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标表示、空间向量的线性运算和数量积的坐标表示的学习与应用，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [对应学生用书P11] 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的定义：在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. 3．右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标轴为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． 4．空间点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 5．空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为a＝(x，y，z). 二、空间向量运算的坐标表示 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量运算 坐标表示 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) λa (λa1，λa2，λa3) a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 |a| cos 〈a，b〉 三、空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则 (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)||＝. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)相等向量的坐标相同．(　　) (2)一个坐标对应于唯一的一个向量．(　　) (3)空间中一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．(　　) (4)||表示A，B两点之间的距离．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材P18练习2改编)点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为(　　) A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0) B　[点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0.] 3．(教材P21练习1改编)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 D　[易验证A，B，C均不正确． 由|a|＝＝6，可知D正确．] 4．已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，则x－y＝________. 4　[∵a∥b，∴b＝λa. ∴∴ ∴x－y＝4.] [对应学生用书P12] 探究一　空间点、向量的坐标表示 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. (1)写出B，C1，B1，M，N五点的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 解　(1)点B在y轴上，且CB＝1，所