1.2　空间向量基本定理（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

1.2　空间向量基本定理 课程内容标准 学科素养凝练 1．了解空间向量基本定理及其意义． 2．掌握空间向量的正交分解． 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法. 通过空间向量基本定理及其意义的学习与运用，加强数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算、数学建模的核心素养. [对应学生用书P8] 一、空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc, x，y，z∈R}.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 二、空间向量的正交分解 1．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2．正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.(　　) (2)空间中的基底是唯一的．(　　) (3)零向量能作为基向量．(　　) (4)空间任一向量都可以分解成三个不共面向量和的形式，且分解是唯一的．(　　) (5)空间同一向量对不同基底的分解，有序实数组存在且是不同的．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(教材P12练习1改编)已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　) A．a　　 B．b　　 C．a＋2b　　 D．a＋2c D　[能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝，∴A、B、C都不合题意，由于{a，b，c}构成基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．] 3．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　) A．－，，　　 B．，－， C．－，，－　　 D．－，－， D　[如图所示， 取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，比较知x＝－，y＝－，z＝.] 4．(教材P12练习3改编)如图， 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________. －a＋b－c　[＝－＝(＋)－(＋) ＝－＋－＝－a＋b－c.] [对应学生用书P9] 探究一　基底的判断 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由． [分析]　判断{，，}能否作为空间的一个基底，关键是判断，，是否共面，解决该题可以采用反证法． 解　{，，}能作为空间的一个基底，理由如下：假设、、共面，由向量共面的充要条件知存在实数x、y使＝x＋y成立． ∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， ∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， 即不存在实数x、y使＝x＋y， ∴，，不共面． 故{，，}能作为空间的一个基底． 设＝p＋q＋z，则有 2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3) ＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3. ∵{e1，e2，e3}为空间的一个基底， ∴解之得 ∴＝17－5－30. [方法总结] 1．判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断． 2．求一向量在不同基底下的表示式，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式，转化为在原基底下的表示式，对比系数． [训练1]　设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 C　[如图所示， 令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋