1.1.2　空间向量的数量积运算（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

1.1.2　空间向量的数量积运算 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握空间向量的夹角的概念． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律． 3．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 4．能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题. 通过空间向量的数量积的定义、几何意义、性质、运算律的学习与应用，形成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算、数学建模的核心素养. [对应学生用书P5] 一、空间向量的夹角 1．空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. 2．范围：〈a，b〉∈[0，π].特别地，当〈a，b〉＝0时，两向量a，b同向共线；当〈a，b〉＝π时，两向量a，b反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 二、空间向量的数量积及其性质 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0 性质 a⊥b⇔a·b＝0； a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2＝a2 运算律 (λa)·b＝λ(a·b) a·b＝b·a(交换律) (a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律) 三、向量的投影 1．向量a向向量b的投影：如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，先将它们平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos 〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.如图(2)，也可以将向量a向直线l投影． 2．向量a向平面β的投影：如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (2)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　) (3)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　　) (4)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．(　　) (5)对于任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．(教材P9习题4改编)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2　　 B．a2　　 C．a2　　 D．a2 C　[·＝(＋)· ＝(·＋·) ＝＝a2.] 3．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－6　　 B．6　　 C．3　　 D．－3 B　[由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1， ∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.] 4．(教材P7例2改编)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，两两夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||＝________. 5　[由于＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2 ＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋　·) ＝12＋22＋32＋2＝25，故||＝5.] [对应学生用书P6] 探究一　空间向量的数量积的计算 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·； (3)·. [分析]　求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，根据数量积的定义进行计算． 解　(1)·＝· ＝||||cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 60°＝，所以·＝. (2)·＝·＝||||cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 0°＝，所以·＝. (3)·＝·＝||||cos 〈，〉 ＝×1×1×cos 120°＝－，所以·＝－. [方法总结]　在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可．注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角． [训练1]　已知正四面体OABC的棱长为1. 求：(1)·；(2)(＋)·(＋)． 解　如图所示， (1)·＝||||cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝； (2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×