1.1.1　空间向量及其线性运算（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　 空间向量及其线性运算 课程内容标准 学科素养凝练 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 2．经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律． 3．掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用. 通过空间向量的概念、空间向量的线性运算及共线、共面的充要条件的学习，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算、数学建模的核心素养. [对应学生用书P1] 一、空间向量的有关概念 1．定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 3．表示法 4．几类常见的空间向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或 ||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量 －a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. a∥b 规定：零向量与任意向量平行 0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或＝ 二、空间向量的线性运算 1．空间向量的加法、减法以及数乘运算的运算法则 由图(1)，知 ①a＋b＝； ＝＋ ②a－b＝.＝－ 由图(2)，知 ③当λ＞0时，λa＝λ； ＝ 当λ<0时，λa＝λ； ＝ 当λ＝0时，λa＝0. 2．空间向量的线性运算满足的运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μ a, λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体体对角线所表示的向量． 三、共线向量与共面向量 1. 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 充要 条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb) 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 2．直线l的方向向量：已知O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，存在实数λ，使得＝λa.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. 3．与直线、平面平行的向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA 与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　　) (2)若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面．(　　) (3)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＝0.(　　) ＋＋＋ (4)对空间任一点O，若(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．(　　) ＋y＝x (5)对空间任一点O，若，则P、A、B、C四点共面．(　　) ＋z＋y＝x (6)若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)× 2．(教材P5练习4改编)在四面体OABC中，等于(　　) －＋ A．　　 　　 B． C．　　 D． C　[.]＝＋＝－＝－＋ 3．(教材P5练习5改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，)，则(　　) ＋＋y(＝x，若＝ A．x＝1，y＝，y＝1 　　 B．x＝ C．x＝1，y＝　　 D．x＝1，y＝ D　[.])．所以x＝1，y＝＋(＋＝＋＝＋＝ 4．(多空题)(教材P5练习3节选)如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，用＝________. ＝________，，则，表示，， .]－＋＝＋＝，＋－＝＋＝　[＋＋　＋－ [对应学生用书P2] 探究一　空间向量的有关概念 (1)下列说法正确的是(　　) A．若|a|<|b|，则a<b B．若a，b为相反向量，则a＋b＝0 C．空间内两平行向量相等 D．四边形ABCD中，＝－ (2)如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，顶点连接的所有向量中，与向量相反的向量有________.(要求写出所有适合条件的向量) 相等的向量有________；与向量 [分析]　根据相等向量、相反向量等有关概念判断． (1)D　(2)　[(1)向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量