专题09 二次函数-2021年中考数学真题分类集训营（全国通用）

专题09 二次函数 考点一 二次函数的概念及解析式的确定 1.、（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　y＝x2　． 【分析】根据形如y＝ax2的二次函数的性质直接写出即可． 【解析】∵图象的对称轴是y轴， ∴函数表达式y＝x2（答案不唯一）， 故答案为：y＝x2（答案不唯一）． 2、（2020•哈尔滨）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　（1，8）　． 【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）． 【解析】∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式， ∴顶点坐标是（1，8）． 故答案为：（1，8）． 3、（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是　①②④　． 【分析】利用二次函数的性质一一判断即可． 【解析】①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同， ∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确； ②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1， ∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确； ③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误； ④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1， ∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确， 故答案为①②④． 4、（2020•临沂）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）． （1）求这条抛物线的对称轴； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式； （3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围． 【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得； （2）根据顶点式求得得到坐标，根据题意得到关于a的方程解方程求得a的值，从而求得抛物线的解析式； （3）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出m的取值． 【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3． ∴抛物线的对称轴为直线x＝1； （2）∵抛物线的顶点在x轴上， ∴2a2﹣a﹣3＝0， 解得a或a＝﹣1， ∴抛物线为yx2﹣3x或y＝﹣x2+2x﹣1； （3）∵抛物线的对称轴为x＝1， 则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2）， ∴当a，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＝﹣1，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2． /5、（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差； （3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围． 【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式； （2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x是函数有最小值，进而求得它们的差； （3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因为a＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m． 【解析】（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点， ∴，解得， ∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2； （2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x， ∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x是函数有最小值：y2， ∴的最大值与最小值的差为：4﹣（）； （3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b， ∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得 x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0 ∵a＜3＜b ∴a≠b ∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0 ∴m≠5 ∵a＜3＜b 当x＝3时，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2， 把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m ∴m的取值范围为m． 考点二 二次函数的图像和性质 /6、（2020·温州）9．已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则 A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ {答案} {解析}本