专题15第五章一元函数的导数及其应用知识点与综合提升题——寒假作业15-2020-2021学年高二数学寒假复习巩固练习（人教A版2019）

专题15人教A版（2019）第五章一元函数的导数及其应用知识点与综合提升题——寒假作业15（解析版） 一．导数的定义： 2.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量： ；②求平均变化率： ； ③取极限得导数： （下面内容必记） 二、导数的运算： （1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ① ；② ； ； ③ ； ④ ⑤ ⑥ ； ⑦ ； ⑧ 法则1： ；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2： (口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3： (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数 的导数求法： ①换元，令 ，则 ②分别求导再相乘 ③回代 三．导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻 时的瞬时速度 就是物体运动规律 在 时的导数 ， 即有 。 2.V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 四．导数的几何意义： 函数 在 处导数的几何意义，曲线 在点 处切线的斜率是 。于是相应的切线方程是： 。 题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况： （1）曲线 在点 处切线：性质： 。相应的切线方程是： （2）曲线 过点 处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k= ，切点 在曲线 上，切点 在切线 上，切点 坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k= ，确定切线方程。 五．函数的单调性：设函数 在某个区间内可导， （1） EMBED Equation.DSMT4 该区间内为增函数； （2） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 该区间内为减函数； 注意：当 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时， 在这个区间上仍是递增（或递减）的。 （3） 在该区间内单调递增 EMBED Equation.DSMT4 在该区间内恒成立； （4） 在该区间内单调递减 EMBED Equation.DSMT4 在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性： 步骤： （1）求导数 (2)判断导函数 在区间上的符号 (3)下结论 ① EMBED Equation.DSMT4 该区间内为增函数； ② EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 该区间内为减函数； 题型二、利用导数求单调区间 求函数 单调区间的步骤为： （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题） 思路一.（1） 在该区间内单调递增 EMBED Equation.DSMT4 在该区间内恒成立； （2） 在该区间内单调递减 EMBED Equation.DSMT4 在该区间内恒成立； 思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。 注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数 （x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以 六、函数的极值与其导数的关系： 1.①极值的定义：设函数 在点 附近有定义，且若对 附近的所有的点都有 （或 ，则称 为函数的一个极大（或小）值， 为极大（或极小）值点。 ②可导数 在极值点 处的导数为0（即 ），但函数 在某点 处的导数为0，并不一定函数 在该处取得极值（如 在 处的导数为0，但 没有极值）。 ③求极值的步骤： 第一步：求导数 ； 第二步：求方程 的所有实根； 第三步：列表考察在每个根 附近，从左到右，导数 的符号如何变化， 若 的符号由正变负，则 是极大值； 若 的符号由负变正，则 是极小值； 若 的符号不变，则 不是极值， 不是极值点。 2、函数的最值： ①最值的定义：若函数在定义域D内存 ，使得对任意的 ，都有 ，（或 ）则称 为函数的最大（小）值，记作 （或 ） ②如果函数 在闭区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间 上必有最大值和最小值。 ③求可导函数 在闭区间 上的最值方法： 第一步；求 在区间 内的极值； 第二步：比较 的极值与 、 的大小： 第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。 注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。